专题12 与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题-2021-2022学年七年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

七年级数学下册解法技巧思维培优

专题12   与一元一次不等式(组)有关的定义新运算问题

【典例1】（2019•汉阳区期末）记R（x）表示正数x四舍五入后的结果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，

（1）R（π）＝　3　，R（）＝　2　；

（2）若R（x﹣1）＝3，则x的取值范围是　7≤x＜9　．

（3）R（）＝4，则x的取值范围是　4.5≤x＜6.5　．

【点拨】（1）根据题意即可得到结论；

（2）根据题意列不等式即可得到结论；

（3）根据题意列不等式即可得到结果．

【解析】解：（1）R（π）＝3，R（）＝2，

故答案为：3，2；

（2）∵R（x﹣1）＝3，

∴2.5x﹣1＜3.5，

解得：7≤x＜9，

故答案为：7≤x＜9；

（3）∵R（）＝4，

∴3.54.5，

∴7≤R（x+2）＜9，

∴R（x+2）＝7或R（x+2）＝8，

∴6.5≤x+2＜8.5，

∴4.5≤x＜6.5，

故答案为：4.5≤x＜6.5．

【典例2】（2019•昌图县模拟）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}根据以上材料，解决下列问题：

若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，则x的取值范围为　x　．

【点拨】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得，解之可得．

【解析】解：∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}＝3，

∴，

∴x，

故答案为x．

【典例3】（2019•金牛区校级月考）对x，y定义一个新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有5个整数解，则实数P的取值范围　P　．

【点拨】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出p的范围．

【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，

∴2，1，

解得：a＝1，b＝3，

T（2m，5﹣4m）4，解得m，

T（m，3﹣2m）P，解得m，

∵关于m的不等式组恰好有5个整数解，

∴45，

∴P，

∴实数P的取值范围是P，

故答案为：P．

【典例4】（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．

（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是　﹣4≤a＜﹣3　．

（2）如果，满足条件的所有正整数y有　7，8　．

【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；

（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．

【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，

∴﹣4≤a＜﹣3，

故答案为：﹣4≤a＜﹣3；

（2）∵，

∴45，

解得：7≤y＜9，

∴所有正整数y有7，8，

故答案为：7，8．

【典例5】（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

（1）在方程①3x﹣1＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组关联方程是　③　（填序号）．

（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　2x﹣2＝0　

（写出一个即可）．

（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，试求出m的取值范围．

【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；

（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；

（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．

【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x，

②解方程x+1＝0得：x，

③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，

解不等式组得：x，

所以不等式组的关联方程是③，

故答案为：③；

（2）解不等式x1得：x＜1.5，

解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，

则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，

∴其整数解为1，

则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．

故答案为：2x﹣2＝0．

（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，

解方程3+x＝2（x）得x＝2，

解不等式组得m＜x≤m+2，

∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，

∴1≤m＜2．

巩固练习

1．（2019•大石桥市期末）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当m为非负整数时，若mx＜m，则[x]＝m，如：[6.4]＝6，[6.5]＝7，……根据以上材料，若[5x+3]＝5，则x应满足的条件是　0.3≤x＜0.5　．

【点拨】根据“四舍五入”到个位的定义，根据不等式组即可解决问题．

【解析】解：由题意：55x+3＜5，

解得0.3≤x＜0.5，

故答案为0.3≤x＜0.5．

2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝﹣5，则整数x的取值是　﹣17，﹣16，﹣15　．

【点拨】根据题意得出﹣54，进而求出x的取值范围，进而得出答案．

【解析】解：∵[m]表示不大于m的最大整数，

∴﹣54，

解得：﹣17≤x＜﹣14，

∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，

故答案为﹣17，﹣16，﹣15．

3．（2019•丹阳市期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，侧如：T（1，0）a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　5＜p≤7　．

【点拨】已知两对值代入T中计算求出a与b的值，然后根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可．

【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣1，T（5，﹣2）＝4，

∴1，4，

解得：a＝2，b＝3，

∵，

∴，

∴，

∵有3个整数解，

∴12，

∴5＜p≤7，

故答案为5＜p≤7．

4．（2019•雁塔区校级期中）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[2.8]＝﹣3等[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x≤[x]+1．根据以上所述，则满足[x]＝2x﹣1的所有x的和为　1.5　．

【点拨】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．

【解析】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，

∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，

解得，0＜x≤1，

∵2x﹣1是整数，

∴x＝0.5或x＝1，

∴0.5+1＝1.5

故答案为：1.5．

5．（2019•西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．

（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是　﹣4≤a＜﹣3　．

（2）如果，满足条件的所有正整数y有　7，8　．

【点拨】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；

（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．

【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，

∴﹣4≤a＜﹣3，

故答案为：﹣4≤a＜﹣3；

（2）∵，

∴45，

解得：7≤y＜9，

∴所有正整数y有7，8，

故答案为：7，8．

6．（2019•岳麓区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

（1）在方程①3x﹣1＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组关联方程是　③　（填序号）．

（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　2x﹣2＝0　

（写出一个即可）．

（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，试求出m的取值范围．

【点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；

（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；

（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．

【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x，

②解方程x+1＝0得：x，

③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，

解不等式组得：x，

所以不等式组的关联方程是③，

故答案为：③；

（2）解不等式x1得：x＜1.5，

解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，

则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，

∴其整数解为1，

则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．

故答案为：2x﹣2＝0．

（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，

解方程3+x＝2（x）得x＝2，

解不等式组得m＜x≤m+2，

∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，

∴1≤m＜2．

7．（2019•玉州区期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

（1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组的关联方程是　①　（填序号）．

（2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　x﹣2＝0　（写出一个即可）

（3）若方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．

【点拨】（1）根据关联方程的定义可以解答本题；

（2）本题答案不唯一，写出的方程只要符合题意即可；

（3）根据题意可以求得m的取值范围．

【解析】解：（1）由不等式组得，，

由x﹣（3x+1）＝﹣5，解得，x＝2，故方程①x﹣（3x+1）＝﹣5是不等式组的关联方程，

由1＝0得，x，故方程②1＝0不是不等式组的关联方程，

由3x﹣1＝0，得x，故方程③3x﹣1＝0不是不等式组的关联方程，

故答案为：①；

（2）由不等式组，解得，0.5＜x＜3，则它的关联方程的根是整数是一个方程是x﹣2＝0，

故答案为：x﹣2＝0；

（3）由xx，得x＝0.5，由3+x＝2（x）得x＝2，

由不等式组，解得，m＜x≤2+m，

∵方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，

∴，得0≤m＜0.5，

即m的取值范围是0≤m＜0.5．