九年级数学 培优竞赛新方法-第12讲 统计与概率 讲义学案

第12讲   统计与概率

知识纵横

   统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学。

   在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是不量寻在的，而概率正是对随机现象的一种数学的描述，数学钟用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母表示，计算公式是：

事件发生概率

      在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法。

      统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在频率这一统计量稳定性的基础上，而统计推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性。

例题求解

【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别为1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别为1，3，4，5，6，8，同时掷这两枚骰子，其朝上的面两数之和为7的概率是       

（2011年“《数字学报》杯”全国初中数学竞赛题）

思路点拨   用列表法列出所有情形。

【例2】一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则不算过关，现有下列说法;①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是；③可以过第四关；④过第五关的概率大于零。

其中，正确说法的个数为（   ）

A、4         B、3        C、2         D、1

（天津市竞赛题）

思路点拨   对于（2），在理解“过关”意义基础上，逐步计算相关概率。

【例3】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清，如果用x、y表示这连个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成)，小明记得这11个数字之和是20的整数倍，求小明一次拨对小陈手机号码的概率、

（2011年南通市中考题）

思路点拨   建立关于x、y的不定方程，由此可得x、y可能的对应值的所有情形。

【例4】杨华与李红用5张同样规格的硬纸片作拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们与背面朝上均匀后，同时抽出两张。规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

思路点拨   游戏对双方公平是指双方积分值相同，解题的关键是分别求出杨华和李红的得分。

【例5】一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．

（四川省竞赛题）

分析  解题的更关键是依据裁判擦去的数的奇偶性进行讨论。

解   2、3、4、…、2006中有1002个奇数，1003个偶数。（1）若裁判擦去的是奇数，此时，乙一定获胜，因为乙不管擦什么数，只要还有奇数，就擦奇数。这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两个数不互质；（2）若裁判擦去的是偶数，此时，甲一定获胜，设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：（2，3），，（2m-2，2m-1），（2m+1，2m+2），，（2005，2006）。这样，不管乙擦去哪一个数，甲都擦去所配对的数对中的另一个数，最后所剩下的两个数比互质，故甲胜，故甲胜的概率为。

简约思维

【例6】一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择，求蚂蚁不不相撞的概率。

（微软公司招聘面试试题）

分析与解  三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针）。因每只蚂蚁选择的不确定性，故组成的各种情形，似乎繁杂。这正是微软主考制造的氛围，其用意在于考查应试者摒除习惯因素的干扰，初中要害，化繁为简的能力。

     选择一只蚂蚁A作为参照标准，一旦A确定了自己的运动方向，那么其他蚂蚁必须做相同方向的运动才能避免相撞，蚂蚁B、C分别有的概率来选择与A相同的运动方向。

     故蚂蚁避免撞到一起的概率为。

学历训练

基础夯实

1、如图，图有个黑球，图为个同样大小球叠成的图形，最下一层的个球为黑色，其余为白色，图为个同样大小球叠成的图形，最下一层的而过球为黑色，其余为白色；。。。。。则从第个图中随机取出一个球，是黑球的概率是________

                                                        (2011株洲市中考题）

2.从至这个自然数中任取一个，是的倍数或是的倍数的概率是________

                                                         （杭州市中考题）

3.有四张正面分别标有数字的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同。现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上饿数字记为，则使关于的分式方程有正整数解的概率为________。

（2011年重庆市中考题）

4.对于平面内任意一个凸四边形,现从以下四个关系式④中任取两个作为条件，能够得出这个四边形是平行四边形的概率是________

                                                          （广州市中考题）

5.在三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（     ）

                                                           （泰安市中考题）

6.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆骑车经过该十字路口全部继续直行的概率为（     ）

（2011年呼和浩特市中考题）

7.一个口袋有个黑球和若干和白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法:从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色。。。。。。不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，根据上述数据，小明估计口袋中的白球大约有（      ）

（青岛市中考题）

8.”赵爽弦图“是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），小亮同学随机地在大正方形及其内部投针。若直角三角形的两条直角边的长分别是和，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（     ）                 

（临沂市中考题）

9. 有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母分别表示甲乙两同学抽出的数字。

（1）用列表法关于的方程有实数解的概率。

（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率

                                                       （2011年贵州省中考题）

10. 将背面完全相同，正面上分别写有数字的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数，将形状，大小完全相同，分别标有数字的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差。

（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为的概率

（2）小明和小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢，你认为该游戏公平吗？请说明理由，如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平。

                                                             （重庆市中考题）

能力拓展

11、甲，乙两同学下棋，胜一盘得分，和一盘各得分，连下三盘，得分多者胜，则甲取胜的概率是           。

                                                              （太原市竞赛题）

12、小丁，小明，小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用”剪子,布,锤子”的方式确定，那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是          。

                                                              （海南省竞赛题）

13、一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么，与的关系是         。

                                                             （山东省竞赛题)

14. 某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是           。

                                                              （太原市竞赛题）

15、从分别写有数字张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是的倍数的概率是           。

                                                       （全国初中数学联赛题）

16、甲，乙，丙，丁四位同学参加田径运动会接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（          )

                                                                (浙江省竞赛题）

17. 把一颗六个面编号分别为质地均匀的正方体骰子先后投掷次，若两个正面朝上的编号分别为，则二次函数的图像与轴有两个不同交点的概率是（       ）

                                                         (全国初中数学竞赛题）

18. 长为的线段各一条，从这五条线段中任取条，能构成钝角三角形的概率为（       ）

19. 任意选择一对有序整数，其中每一个整数的绝对值小于或等于，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，求方程没有异正实根的概率。

                                                  （第届美国高中数学考试题）

20. 袋中有数字卡张，其数字分别为,若随机一次抽出张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率，

                                                  （第届香港中学数学竞赛题）

综合创新

21. 如图，将枚相同的硬币依次放入一个的正方形格子中（每个正方形格子只能放枚硬币），求所放的枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率。

                                                           （四川省竞赛题）

22、在一个口袋中有个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状，大小，质地完全相同，在看不到球的条件下，从袋中随机地取出一个球。

（1）若取出的是红球的概率是，求的值。

（2）在（1）的条件下，把这个球中的两个标号为，其余分别标号为，随机地取出一个球后不放回，再随机地取出一个小球，请用列表法或树状图求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率。

（3）若第（2）问去掉“在（1）的条件下，且第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率为，求的值。