江苏版2020年中考数学热点专题冲刺8动态几何问题20200325218

热点专题8   动点几何问题

动态几何问题，是近年来的热点问题．它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题．动态几何问题也就是关于图形运动的一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换﹕平移、旋转、轴对称及动点问题．当然考查图形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点——研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况．这几乎成了压轴题基本上共同的特点．

考向1 图形的运动与最值

1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是　   　．

【解析】如图，

过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，

∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，

∴，

∵AB＝4，

∴AE＝AB+BE＝4+BE，

∴，

∴BE最大时，最大，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，

过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，

∵BD是⊙C的切线，

∴∠GME＝90°，

在Rt△BCD中，BD＝＝5，

∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，

∴△BHC∽△BCD，

∴，

∴，

∴BH＝，CH＝，

∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，

∴△BHG∽△BAD，

∴＝，

∴，

∴HG＝，BG＝，

在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，

而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，

∴GE最大时，BE最大，

∴GM最大时，BE最大，

∵GM＝HG+HM＝+HM，

即：HM最大时，BE最大，

延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，

∴GP'＝HP'+HG＝，

过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，

∴BE最大时，点E落在点F处，

即：BE最大＝BF，

在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，

∴BF＝FG﹣BG＝8，

∴最大值为1+＝3，

故答案为：3．

2. (2019 江苏省无锡市)如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　　．

【解析】过D作DG⊥BC于G，过A作AN⊥BC于N，过E作EH⊥HG于H，延长ED交BC于M．

易证△EHD≌△DGC，可设DG＝HE＝x，

∵AB＝AC＝5，BC＝，AN⊥BC，

∴BN＝BC＝2，AN＝，

∵G⊥BC，AN⊥BC，

∴DG∥AN，

∴，

∴BG＝2x，CG＝HD＝4- 2x；

易证△HED∽△GMD，于是，，即MG  ，

所以S△BDE ＝ BM×HD＝×(2x)×(4- 2x)＝＝，

当x＝时，S△BDE的最大值为8． 因此本题答案为8．

3. (2019 江苏省宿迁市)如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是　   　．

【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2

在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°

∴∠ABC1＝30°

∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，

在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°

∴∠AC2B＝30°

∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，

当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．

故答案为：＜BC＜2．

4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　   　．

【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG

从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上

作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值

作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝

故答案为．

5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　   　；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　   　；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

【解析】（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，

∵PB＝4，

∴PB′＝PB＝PA＝4，

∵∠A＝60°，

∴△APB′是等边三角形，

∴AB′＝AP＝4．

故答案为4．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，

∴△PEB是等边三角形，

∵PB＝5，

∴∵B，B′关于PE对称，

∴BB′⊥PE，BB′＝2OB

∴OB＝PB•sin60°＝，

∴BB′＝5．

故答案为5．

（3）如图3中，结论：面积不变．

∵B，B′关于直线l对称，

∴BB′⊥直线l，

∵直线l⊥AC，

∴AC∥BB′，

∴S△ACB′＝S△ACB＝•82＝16．

（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，

设直线PB′交AC于E，

在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，

∴PE＝PA•sin60°＝，

∴B′E＝6+，

∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．

6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为t（s），的面积为S（cm²），S与t的函数关系如图②所示：

（1）直接写出动点M的运动速度为      ，BC的长度为       ;

（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇（不包含点C），动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.

①求动点N运动速度的取值范围;

②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）2；10

（2）①解：∵在边BC上相遇，且不包含C点

           ∴

           ∴

②如右图

              =15

过M点做MH⊥AC，则

∴

∴

     =

     =

因为，所以当时，取最大值.

7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．

（1）若a＝12．

①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为　   　；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．

【解析】 ①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，

四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，

解得：x＝3；

故答案为：3；

②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，

∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，

当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，

作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：

则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，

∵△GDC是等腰直角三角形，

∴DE＝CE，GE＝CD＝10，

∴GF＝GE+EF＝20，

∴GH＝20﹣x，

由题意得：PQ∥CD，

∴△GPQ∽△GDC，

∴＝，

即＝，

解得：PQ＝40﹣2x，

∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，

∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；

（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，

梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，

∵0≤x≤20，

∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，

∵10≤x≤20，二次函数图象开口向下，

∴当x＝20时，S最小，

∴﹣202+×20≥50，

∴a≥5；

综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．

考向2  动点与函数的结合问题

1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．

（1）求抛物线L1对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．

【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），

将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得

，解得，

∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），

第一种情况：AC为平行四边形的一条边，

①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），

将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得

﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，

解得，x＝0或x＝﹣1，

因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为（﹣1，0）；

②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），

将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得

y＝﹣x2﹣x+2，得

x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，

解得，x＝3，或x＝﹣，

此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；

第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，

由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），

故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），

将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得

﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，

解得，x＝0或x＝﹣3，

因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为（﹣3，12），

综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；

（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，

当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，

过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，

过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，

由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，

∴△PSC∽△RTC，

∴，

设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），

所以有，

整理得，x1+x2＝4，

在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝

过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），

若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，

所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，

所以2m＝，

解得，m＝，

所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．

2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　   　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　   　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．

①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【解析】（1）①半径为1的圆的宽距离为1，

故答案为1．

②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝＝＝

∴OP+OC≥PC，

∴PC≤1+，

∴这个“窗户形“的宽距为1+．

故答案为1+．

（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，

∴当d＝5时．AM＝4，

∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），

当d＝8时．AM＝7，

∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），

∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．

当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．

考向3  运动过程中的定值问题

1．(2019 江苏省宿迁市)如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．

（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

【解析】（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，

∴DE∥AC，

∴＝，

∴＝，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA∽△EBC．

（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．

理由：如图③中，设AB交CG于点O．

∵△DBA∽△EBC，

∴∠DAB＝∠ECB，

∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，

∴∠G＝∠ABC＝30°．

（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．

以O为圆心，OA为半径作⊙O，

∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，

∴∠AGC＝∠AOC，

∴点G在⊙O上运动，

以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

∵BK＝AK，

∴DK＝BK＝AK，

∵BD＝BK，

∴BD＝DK＝BK，

∴△BDK是等边三角形，

∴∠DBK＝60°，

∴∠DAB＝30°，

∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，

∴的长＝＝，

观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．

2．(2019 江苏省无锡市)如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．

（1）若．

①如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．

（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．

【解析】（1）①勾股求的AC= 易证,

故

②1°如图，当∠PCB’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得：，

解得t=2

2°如图，当∠PCB’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得：，解得t=6

3°当∠CPB’=90 °时，易证四边形ABP’为正方形，解得t=2

（2）如图，

∵∠PAM=45°

∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°

又∵翻折

∴∠1=∠2，∠3=∠4

又∵∠ADM=∠AB’M（AAS）

∴AD=AB’=AB

即四边形ABCD是正方形

如图，设∠APB=x

∴∠PAB=90°-x

∴∠DAP=x

易证△MDA≌△B’AM（HL）

∴∠BAM=∠DAM

∵翻折

∴∠PAB=∠PAB’=90°-x

∴∠DAB’=∠PAB’-∠DAP=90°-2x

∴∠DAM=∠DAB’=45°-x

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°