2022届高三数学二轮复习课件：素养提升微专题（三） 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”
展开三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角”“变式”,达到解决问题的目的.(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”,常常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
破题技巧充分利用角的变换解决问题在解决三角函数问题时,要注意逆向思维,充分利用“角的变换”处理问题,例如:α= 等,注意观察已知角,分析未知角,用已知角表示未知角,可以简化计算求解的过程,避免直接套用和角、差角公式而造成解题过程繁杂.
[例1-3](2021·湖南衡阳模拟)若sin α(1+ tan 10°)=1,则钝角α= .
名师点析本题通过辅助角公式、二倍角公式、诱导公式的运用,将非特殊角不断进行转化,最终化为符合要求的角,体现了变角的重要作用.
方法点拨降幂是三角恒等变换中的常用方法,通过运用降幂公式,不但可以使三角函数式的次数与已知条件相符,同时也可以变换得出已知角,从而使问题得到解决.
破题技巧巧用常值代换解三角函数问题在解决三角函数问题时,“常值代换”是实现三角恒等变换的一个重要技巧,也是解决问题的突破口,例如 等,通过常值代换,可巧妙地将原式进行转化,从而解决问题.
名师点析由于“sin α+cs α,sin α-cs α,sin αcs α”这三个式子之间有着密切的联系,可以“知一求二”,因此可以借助它们之间的关系解决求值问题,在此基础上, ,sin 2α,cs 2α等式子也都可以相互转化建立联系.
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cs θ+sin θcs θ的取值范围是 .
规律方法利用换元法求解三角函数最值问题如果在一个函数解析式中同时含有sin θ±cs θ,sin θcs θ,则可通过换元方法,设sin θ±cs θ=t,即可将函数化为关于t的函数,从而解决函数的最值或范围问题,但要注意新元t的取值范围.
解析 因为α,β均为锐角,所以α+β>α,若α+β是锐角,则sin(α+β)>sin α,这与已知矛盾,所以α+β是钝角,
2.(2021·南京外国语学校模拟)已知3cs(2α+β)+5cs β=0,则tan(α+β)tan α=( )A.±4B.4C.-4D.1
解析 由已知得3cs [(α+β)+α]+5cs [(α+β)-α]=0,因此3cs(α+β)cs α-3sin(α+β)sin α+5cs(α+β)cs α+5sin(α+β)sin α=0,整理得8cs(α+β)cs α+2sin(α+β)sin α=0,因此sin(α+β)sin α=-4cs(α+β)cs α,于是 =-4,故tan(α+β)tan α=-4.
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