29实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解

实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解

【学习目标】

(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；

(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）

1．利润问题

（1）

 (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)

(3) 实际售价＝标价×打折率

(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．

2．存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

（3）实得利息=利息-利息税

（4）利息税=利息×利息税率

（5）年利率＝月利率×12

（6）月利率＝年利率×

3.数字问题

    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

4．方案问题

选择设计方案的一般步骤：

 （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．

【典型例题】

类型一、利润问题

1．（2016春•盐城校级月考）某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了　      　元．

【思路点拨】根据题意分别求出两个随身听的进价，进而求出答案．

【答案】34．

【解析】解：设一个的进价为x元，根据题意可得：

x（1+20%）=132，

解得：x=110，

设另一个的进价为y元，根据题意可得：

y（1+10%）=132，

解得：x=120，

故该商店在这笔交易中共赚了：132+132﹣120﹣110=34（元）．

故答案为：34．

【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理清进价与利润之间的关系是解题关键．

类型二、存贷款问题

2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?

【答案与解析】 

解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，

    得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．

    解之，得x＝2．

    答：所以2年后能一次性还清贷款．

【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．

举一反三：

【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？

【答案】

解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，

    x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,

    解得,  x≈9436(元)

　16000-9436=6564(元).

答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.

类型三、数字问题

3．（2015春•镇巴县校级月考）甲数是2013，甲数是乙数的还多1．设乙数为x，则可列方程为（　　）

　 A．4（x﹣1）=2013 B．4x﹣1=2013 C． x+1=2013 D． （x+1）=2013

【答案】C．

解：设乙数为x，

由题意得，x+1=2013．

【总结升华】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

类型四、方案设计问题

4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：

方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．

你认为选择哪种方案获利最多，为什么?

【答案与解析】

解：（1）若选择方案1，依题意，

总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．

（2）若选择方案2．

设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，

依题意得，，

解得．

当时，．

总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．

∵  12000>10500，

∴  选择方案2较好．

答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．

【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：

从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．

举一反三：

【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．

【答案】

解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：

2190×+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4

      解得：x＝8

  答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．

【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费．

    (1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；

(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元?

【答案】

解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a)＝30.72．

    解得：a＝60．

     (2)设该户六月份共用电x度，因0.36＜0.40，所以x＞60，于是超出部分电量为(x-60)度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x-60)＝0.36x．

    解得：x＝90．

    所以0.36x＝0.36×90＝32.40元．

 答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．