2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高一上学期期中考试数学试题

这是一份2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高一上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了设f＝则f的值为等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高一上学期期中考试数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于(　　)
A． {x|x≥0} B． {x|x≤1} C． {x|0≤x≤1} D． {x|0＜x＜1}
2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)
A． 既不充分也不必要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 充要条件
3.命题“∀x＞0，都有x2－x≤0”的否定是(　　)
A． ∃x0＞0，使得－x0≤0 B． ∃x0＞0，使得－x0＞0
C． ∀x＞0，都有x2－x＞0 D． ∀x≤0，都有x2－x＞0
4.若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B等于(　　)
A． {x|－1 C． {x|－ 5.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A． (－∞，2] B． (－2,2]
C． (－2,2) D． (－∞，2)
6.设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
7.若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)的解析式为(　　)
A． 3 B． 3x C． 3(2x＋1) D． 6x＋1
8.函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　)

A．B．C．D．
9.如果f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(3＋t)＝f(3－t)，那么(　　)
A．f(3) C．f(3) 10.已知x∈R，关于x的函数f(x)＝x(1－x)，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)有最大值 B．f(x)有最小值
C．f(x)有最大值－ D．f(x)有最小值－
11.函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则(　　)
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
12.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则据此可得该方程的零点所在区间是(　　)
A． (1,1.25) B． (1.25,1.5) C． (1.5,2) D． 不能确定
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值和最小值的差为1，则实数a＝________.
14.计算：＋log2＝________.
15.已知函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则f(x)的增区间为________．
16.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，a为常数，若存在x0∈R，使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17.（12分）已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a (1)若P＝R，求∁UA中最大元素m与∁UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求∁AB和∁UA中所有元素之和及∁U(∁AB)．
18.（12分）已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞]．
(1)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若对任意a∈[－1,1]，f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围．
19. （12分）已知不等式x2－x－m＋1>0.
(1)当m＝3时，求此不等式的解集；
(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20. （12分）若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
21. （12分）已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值．
22. （10分）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－50x＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
(1)当x∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

答案解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
D
B
B
B
A
A
A
D
B
1.D
【解析】由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．故∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D.
2.D
【解析】∵当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数；
当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．
反之，当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴当x∈[－1,0]时，
f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性成立．
3.B
【解析】由含有一个量词的命题的否定易知，选B.
4.D
【解析】∵|2x－1|<3⇔－3<2x－1<3，∴－10，∴x>3或x<－，∴A∩B＝{x|－1 5.B
【解析】由可求得－2 6.B
【解析】f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
7.B
【解析】令t＝g(x)＝2x＋1，则x＝，所以f(t)＝6×＋3＝3t，故f(x)＝3x，故选B.
8.A
【解析】函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C、D，由题干中图象知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
9.A
【解析】由于f(x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f(3＋t)＝f(3－t)，
∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞)为函数的增区间，由f(1)＝f(3－2)＝f(3＋2)＝f(5)，
又∵3<5<6，∴f(3) 10.A
【解析】函数f(x)＝x(1－x) ＝x－x2＝－(x－)2＋，所以当x＝时，函数f(x)有最大值.
11.D
【解析】设x1 ∵x2－x1>0，又当x>0时，f(x)>1，
∴f(x2－x1)>1，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1) ∴f(x)在R上是增函数．
∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，故选D.
12.B
【解析】因为f(1.25)f(1.5)<0，所以方程的零点所在区间为(1.25,1.5)，故选B.
13.或
【解析】当a>1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，
∴当x＝－1时，y取到最小值a－1，当x＝1时，y取到最大值a，
∴a－a－1＝1，解得a＝；
当0 ∴当x＝－1时，y取到最大值a－1，当x＝1时，y取到最小值a，
∴a－1－a＝1，解得a＝.故答案为或.
14.－2
【解析】原式＝|log25－2|＋log25－1＝log25－2－log25＝－2.
15.(－∞，－]，[，＋∞)
【解析】由奇函数的定义知f(－x)＝(|－x|－1)(－x＋a)＝－f(x)＝－(|x|－1)(x＋a)，即－x＋a＝－x－a，解得a＝0，故f(x)＝x(|x|－1)，当x≥0时，f(x)＝x2－x＝2－，所以f(x)的单调增区间为[，＋∞)；
由奇函数的图象特征可知当x<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－].
16.[7，＋∞)
【解析】因为f(x)<0有解，需满足Δ＝a2－4(a＋3)>0，所以a>6或a<－2.
当a>6时，g(x)<0的解为x<2，所以f(x)<0在x<2上有解即可，即f(x)在x<2上的最小值小于零即可．此时f(2)≤0，所以4－2a＋a＋3≤0，所以a≥7.
当a<－2时，g(x)<0的解为x>2，所以f(x)<0只须在x>2上有解即可，即f(x)在x>2上的最小值小于零即可，也须满足f(2)≤0，所以4－2a＋a＋3≤0，所以a≥7，显然不成立．所以a≥7.
17.(1)由已知得∁UA＝{x|－1≤x<0或x＝2}，
∁UB＝{x|－1≤x≤－a,1 ∴m＝2，n＝－1，
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，
B＝{1}或{0,1}．∴∁AB＝{0}或∁AB＝∅，即∁AB中元素之和为0.
又∁UA＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1.故所求元素之和为0＋1＝1.
∵∁AB＝{0}或∁AB＝∅，
∴∁U(∁AB)＝{－1,1,2}或∁U(∁AB)＝∁U∅＝U＝
{－1,0,1,2}．
18.(1)∵对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，即>0，对x∈[1，＋∞)恒成立，
∴x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a>－x2－2x对x∈[1，＋∞)恒成立．
∵当x∈[1，＋∞)时，(－x2－2x)max＝－3，∴a>－3，∴实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
(2)∵当a∈[－1,1]时，f(x)>4恒成立，则－4>0对a∈[－1,1]恒成立，
即x2－2x＋a>0对a∈[－1,1]恒成立．把g(a)＝a＋(x2－2x)看成a的一次函数，
即g(a)>0对a∈[－1,1]恒成立的条件是即
解得x<1－或x>＋1.又∵x≥1，∴x>＋1.
故实数x的取值范围是(＋1，＋∞)．
19.(1)当m＝3时，x2－x－m＋1>0，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，故不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．
(2)∵1>0，∴对任意的实数x，不等式x2－x－m＋1>0恒成立，则必须有(－1)2－4(－m＋1)<0，解得m<，
∴实数m的取值范围是m<.
20.(1)在等式中令x＝y≠0，则f(1)＝0.
(2)在等式中令x＝36，y＝6则f＝f(36)－f(6),
f(36)＝2f(6)＝2，
故原不等式为f(x＋3)－f 即f[x(x＋3)] 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故原不等式等价于⇒0 即x∈.
21.(1)令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
对任意x1，x2∈R，且x10，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x2－x1>0，且当x>0时，有f(x)<0，
∴f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x2) (2)[－3,3]R，由(1)，知f(x)在R上是减函数，
故f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(2＋1)
＝－[f(2)＋f(1)]＝－[f(1＋1)＋f(1)]
＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝－3×(－)＝2；
f(x)min＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)
＝f(1＋1)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3f(1)＝3×(－)＝－2.
22.(1)根据题意得，利润P和处理量x之间的关系为
P＝(10＋10)x－y＝20x－x2＋50x－900＝－x2＋70x－900＝－(x－35)2＋325，x∈[10,15]．
∵x＝35∉[10,15]，P＝－(x－35)2＋325在[10,15]上为增函数，
可求得P∈[－300，－75]．
∴该项举措不能获利，国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．
(2)设平均处理成本为Q＝＝x＋－50，
由对勾函数的性质知，
当x＝，即x＝30时，Q有最小值10，
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少，为10万元．