2021-2022学年湖南省长沙市望城区八年级（上）期末数学试卷（word版，含解析）

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市望城区八年级（上）期末数学试卷（word版，含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
2．（3分）使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．斜边及一条直角边对应相等
3．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2⋅x3＝x6B．x6÷x3＝x3C．x3+x3＝2x6D．（﹣2x）3＝6x3
5．（3分）计算（x+1）（x﹣1）（x2+1）的结果是（ ）
A．x2﹣1B．x3﹣1C．x4+1D．x4﹣1
6．（3分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．4，4，9B．2，6，8C．3，4，5D．1，2，3
7．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．25°B．55°C．65°D．75°
8．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（4，﹣2）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．2D．3
9．（3分）已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．2B．﹣6C．5D．﹣3
10．（3分）在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（3分）计算的结果是（ ）
A．x+1B．C．D．1
12．（3分）中国5G技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现5G信号全覆盖.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，5G网络比4G网络快90秒．若设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）点（2，3）关于y轴对称的点的坐标为 ．
14．（3分）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB＝3，EF＝4，则AC＝ ．
15．（3分）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ ．
16．（3分）已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a2+b2＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣3a3）2﹣2a2•a4．
18．（6分）已知一个长方形的周长为20，其长为a，宽为b，且a，b满足a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，求a，b的值．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝58°，AD平分∠CAB．求∠CAD和∠1的度数．
20．（8分）以下是小华化简分式的过程：
解：原式＝……………………①
＝……………………②
＝…………………………………③
（1）小华的解答过程在第 步出现错误．
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当x＝5时分式的值．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
22．（9分）为了开展大课间活动，某校决定购进一批毽球和跳绳．已知购买一个毽球比购买一条跳绳多花6元，用80元购买的毽球数量与用20元购买的跳绳的数量相同．
（1）求购买一个毽球需要多少元？
（2）若学校准备购买毽球和跳绳共600个，且购买的跳绳总金额不高于购买毽球的总金额，则至多购进多少条跳绳？
23．（9分）如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长为17，求△ABC的周长．
24．（10分）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
25．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若°，求∠DAE的度数．
（2）证明：．
2021-2022学年湖南省长沙市望城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
2．（3分）使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．斜边及一条直角边对应相等
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项D了．
【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等才能得出两三角形全等，故本选项错误；
D、当两个直角三角形的两直角边对应相等时，由ASA可以判定它们全等；当一直角边与一斜边对应相等时，由HL判定它们全等，故本选项正确；
故选：D．
3．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°
【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°；
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2⋅x3＝x6B．x6÷x3＝x3C．x3+x3＝2x6D．（﹣2x）3＝6x3
【分析】分别根据同底数幂乘除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：A．x2⋅x3＝x5，选项错误，不符合题意；
B．x6÷x3＝x3，选项正确，符合题意；
C．x3+x3＝2x3，选项错误，不符合题意；
D．（﹣2x）3＝﹣8x3，选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）计算（x+1）（x﹣1）（x2+1）的结果是（ ）
A．x2﹣1B．x3﹣1C．x4+1D．x4﹣1
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1．
故选：D．
6．（3分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．4，4，9B．2，6，8C．3，4，5D．1，2，3
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、因为4+4＜9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
B、因为2+6＝8，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
C、因为3+4＞5，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；
D、因为1+2＝3，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
故选：C．
7．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．25°B．55°C．65°D．75°
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．
故选：C．
8．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（4，﹣2）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．2D．3
【分析】据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求得m、n的值，再代入计算可得．
【解答】解：由题意知1+m＝4，1﹣n＝2，
解得：m＝3，n＝﹣1，
∴m+n＝3﹣1＝﹣2，
故选：C．
9．（3分）已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．2B．﹣6C．5D．﹣3
【分析】首先提公因式xy，分解后，再代入求值即可．
【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故选：B．
10．（3分）在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式来判断．
【解答】解：、是整式，
、是分式．
故选：B．
11．（3分）计算的结果是（ ）
A．x+1B．C．D．1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝1．
故选：D．
12．（3分）中国5G技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现5G信号全覆盖.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，5G网络比4G网络快90秒．若设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆数据，根据传输时间＝需传输数据的总量÷在峰值速率下每秒传输数据的量结合在峰值速率下传输4千兆数据5G网络比4G网络快90秒，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆数据，
依题意，得：﹣＝90．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）点（2，3）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为（﹣2，3）．
14．（3分）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB＝3，EF＝4，则AC＝ 5 ．
【分析】全等三角形，对应边相等，周长也相等．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝4，
在△ABC中，△ABC的周长为12，AB＝3，
∴AC＝12﹣AB﹣BC＝12﹣4﹣3＝5，
故填5．
15．（3分）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ 50° ．
【分析】根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【解答】解：∵∠ACP＝115°，∠B＝65°，
∴∠A＝∠ACP﹣∠B＝115°﹣65°＝50°．
故答案为：50°．
16．（3分）已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a2+b2＝ 13 ．
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝25，ab＝6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣12＝13，
故答案为：13．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣3a3）2﹣2a2•a4．
【分析】原式利用单项式乘以单项式法则计算，再利用幂的乘方与积的乘方法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝9a6﹣2a6
＝7a6．
18．（6分）已知一个长方形的周长为20，其长为a，宽为b，且a，b满足a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，求a，b的值．
【分析】由长方形的周长为20，其长为a，宽为b，得出a+b＝10；再把a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，利用完全平方公式因式分解，进一步得出a﹣b﹣2＝0，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：∵长方形的周长为20，其长为a，宽为b，
∴a+b＝20÷2＝10，
∵a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，
∴（a﹣b）2﹣4（a﹣b）+4＝0，
∴（a﹣b﹣2）2＝0
∴a﹣b﹣2＝0，
由此得方程组
解得：a＝6，b＝4．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝58°，AD平分∠CAB．求∠CAD和∠1的度数．
【分析】利用三角形的内角和求出∠CAB，再根据角平分线的定义可求∠CAD；通过三角形外角的性质可求∠1．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠B＝58°，
∴∠CAB＝180°﹣30°﹣58°＝92°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝46°；
∵∠CAD＝46°，∠C＝30°，
∴∠1＝∠CAD+∠C＝46°+30°＝76°．
20．（8分）以下是小华化简分式的过程：
解：原式＝……………………①
＝……………………②
＝…………………………………③
（1）小华的解答过程在第 ② 步出现错误．
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当x＝5时分式的值．
【分析】（1）第②步括号内分式相减时符号错误；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：（1）小华的解答过程在第②步出现错误，
故答案为：②；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝﹣，
当x＝5时，原式＝﹣＝﹣．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出顶点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）；
（2）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×2﹣×3×1﹣×1×1＝2．
22．（9分）为了开展大课间活动，某校决定购进一批毽球和跳绳．已知购买一个毽球比购买一条跳绳多花6元，用80元购买的毽球数量与用20元购买的跳绳的数量相同．
（1）求购买一个毽球需要多少元？
（2）若学校准备购买毽球和跳绳共600个，且购买的跳绳总金额不高于购买毽球的总金额，则至多购进多少条跳绳？
【分析】（1）设购买一个毽球需要x元，则购买一条跳绳需要（x﹣6）元，利用数量＝总价÷单价，结合用80元购买的毽球数量与用20元购买的跳绳的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买一个毽球所需费用；
（2）设购进跳绳y条，则购进毽球（600﹣y）个，利用总价＝单价×数量，结合购买的跳绳总金额不高于购买毽球的总金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出至多购进跳绳480条．
【解答】解：（1）设购买一个毽球需要x元，则购买一条跳绳需要（x﹣6）元，
依题意得：，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．
答：购买一个毽球需要8元．
（2）设购进跳绳y条，则购进毽球（600﹣y）个，
依题意得：（8﹣6）y≤8（600﹣y），
解得：y≤480．
答：至多购进跳绳480条．
23．（9分）如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长为17，求△ABC的周长．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，再由MN垂直平分线AC可知AD＝CD，所以∠ACD＝∠A，再根据∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD即可得出结论；
（2）由MN是AC的垂直平分线可知，AD＝DC，AC＝2AE，所以AB＝AC，再由△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AB+BC＝17，可知求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，
∵MN垂直平分线AC
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵MN是AC的垂直平分线
∴AD＝DC，AC＝2AE＝10，
∴AB＝AC＝10，
∵△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AB+BC＝17，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝17+10＝27．
24．（10分）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
【分析】（1）①模仿例题利用分组法进行因式分解即可；
②利用①题结论进行讨论计算；
（2）由题意得ab＝a+b+1，然后将整式M进行配方部分因式分解就能求得此题结果．
【解答】解：（1）①ab﹣2a﹣2b+4
＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2）
＝（b﹣2）（a﹣2）；
②∵ab﹣2a﹣2b﹣4
＝ab﹣2a﹣2b+4﹣8
＝0，
由①可知：（b﹣2）（a﹣2）＝8，
∵a，b（a＞b）都是正整数，
∴a﹣2＞b﹣2，且a﹣2、b﹣2都为整数，
可得，或或或
解得，或，或（不合题意，舍去），或（不合题意，舍去），
∴当a＝10，b＝3时，
2a+b＝2×10+3＝20+3＝23，
当a＝6，b＝4时，
2a+b＝2×6+4＝12+4＝16，
∴2a+b的值为23或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得，
ab＝a+b+1，
∴M＝a2+3（a+b+1）+b2﹣9a﹣7b
＝a2+3a+3b+3+b2﹣9a﹣7b
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）﹣9﹣4+3
＝（a﹣3）2+（b﹣2）2﹣10，
∴整式M的最小值是﹣10．
25．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若°，求∠DAE的度数．
（2）证明：．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理先求出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠BAE，利用角的和差关系求出∠DAE；
（2）根据三角形的内角和定理先用∠B、∠C表示出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的性质，用∠B、∠C表示出∠BAE，最后利用角的和差关系求出∠DAE．
【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝58°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠BAC＝29°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝8°．
∴∠DAE＝∠EAB﹣∠BAD＝21°．
（2）∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠C．
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC
＝90°﹣∠C﹣（90°﹣∠B﹣∠C）
＝（∠B﹣∠C）．