初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀当堂检测题

九年级数学下册第三十章二次函数定向测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

2、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）

A．14 B．11 C．6 D．3

3、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

4、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

5、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）

A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0

6、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C． D．无法确定

7、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（       ）

A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11

8、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

9、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

10、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）

2、点P(m，n)在对称轴为x=1的函数的图像上，则m－n的最大值为____．

3、定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线． 根据定义回答以下问题：

(1)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2， 则该抛物线的顶点坐标为_________；

(2)当a=1时， 请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________．

4、二次函数的图象的顶点坐标为______．

5、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．

(1)求a的值．

(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．

2、已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；

(3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．

3、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．

(1)求的值；

(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？

（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）

4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)若 ，求点P的坐标；

(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是位于x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴，垂足为点E．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点P，使得以A、P、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，说明理由；

(3)是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【详解】

A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；

B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；

C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；

D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．

2、B

【解析】

【分析】

首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【详解】

解：，

抛物线顶点的坐标为，

，

点的横坐标为，

把代入，得到，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【详解】

解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，

故选：B．

【点睛】

本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

4、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

5、D

【解析】

【分析】

由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．

【详解】

解：二次函数的图象全部在轴的上方，

，，

，

，

．

，．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．

6、C

【解析】

【分析】

分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；

【详解】

当a＞0时，∵对称轴为x=，

当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，

∴4a+2-2=4．

∴a=1，

当a＜0时，同理可得

y有最大值为2； y有最小值为4a+2，

∴2-(4a+2)=4，

∴a=-1，

综上，a的值为

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．

【详解】

解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，

∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，

∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，

∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，

∴3＞32+4×3+c，

∴c＜-18．

故选：B．

【点睛】

本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．

8、D

【解析】

【分析】

首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．

【详解】

解：抛物线开口向上，

，

对称轴在轴右侧，

与异号，

，

抛物线与轴交于正半轴，

，

故选：．

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，

①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．

当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．

②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．

当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）

③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．

9、D

【解析】

【分析】

求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：∵ ，

∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，

∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．

10、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题．

【详解】

解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴，

所以当时，随的增大而增大，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．

2、##0.25

【解析】

【分析】

根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m−n的最大值，本题得以解决．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2＋ax＋2的对称轴为x=1，

∴，解得a=-2，

∴二次函数解析式为y＝x2-2x＋2，

∵点P（m，n）在二次函数y＝x2-2x＋2的图象上，

∴n＝m2-2m＋2，

∴m−n＝m−（m2-2m＋2）＝-m2+3m-2＝−（m−）2+，

∴当m＝时，m−n取得最大值，此时m−n＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3、     （-1，-1）     （1，1+b）．

【解析】

【分析】

（1）由关联直线的定义可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；

（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，

∴a=1，b=2，

∴抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴抛物线顶点坐标为（-1，-1），

故答案为：（-1，-1）；

（2）当a=1时，抛物线解析式为y=x2+bx，则关联直线解析式为y=x+b，

∴当x=1时，函数值都为1+b，

∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），

故答案为：过点（1，1+b）．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据的意义直接解答即可．

【详解】

解：二次函数的图象的顶点坐标是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：（a≠0）的顶点坐标为（0，c）．

5、

【解析】

【分析】

函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．

【详解】

解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

三、解答题

1、 (1)3

(2)（2，0）和（0，0）

【解析】

【分析】

（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；

（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），

∴0＝a（2-1）2-3，

解得：a=3；

(2)

由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，

令y=0，则3（x-1）2-3=0，

解得：x=2或x=0，

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．

【点睛】

本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．

2、 (1)

(2)不在，见解析

(3)y1＜y2，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式；

（2）把点P的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上；

（3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小．

(1)

设抛物线的解析式为

把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3

∴

即抛物线的解析式为；

(2)

动点P（x，5）不在抛物线上

理由如下：

在中，当y=5时，得

即

此方程无解

故点P不在抛物线上；

(3)

y1＜y2

理由如下：

抛物线的对称轴为直线x=2

∵二次项系数−1<0，且

∴函数值随自变量的增大而增大

即y1＜y2

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目．

3、 (1)的值是500；

(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元

【解析】

【分析】

（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；

（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．

(1)

解：由题意可得，，

解得：，

答：的值是500；

(2)

解：设利润为w元，

由题意：，

，

∵-10<0，

∴时，取得最大值，此时，

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．

4、 (1)；

(2)P(，﹣2)；

(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．

【解析】

【分析】

（1）由题意及抛物线解析式可得：，而，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；

（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；

（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．

(1)

解：抛物线，则，

∴，

∵，

∴，，

∴点A、B、C的坐标分别为、、，

∴，

将代入可得，

解得：，

∴，

故抛物线的表达式为：；

(2)

解：，

其中：，，，

∴抛物线的对称轴为，

∵，

∴点P、C的纵坐标相同，

∴根据函数的对称性得点；

(3)

解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，

将点、代入可得：

，

解得：，

直线AC的解析式为：，

∴，

∴，

，

，

，

∵，

∴当时，，此时面积最大，

当时，

，

∴，

答：的面积最大为8，此时点．

【点睛】

题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．

5、 (1)y=-x2-2x+3

(2)P1（-2，3）或P2(，)

(3)点P的坐标为（-，），理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c求出b、c的值即可求出该函数表达式；

（2）设P（m，-m2-2m+3），表示出PE、AE的长，分或两种情况讨论即可找到P的坐标；

（3）连接AC交PE于点H，把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC即可根据二次函数最值找到P的坐标．

(1)

把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；

(2)

∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），

∴OC=3，OB=1，

∴设P（m，-m2-2m+3），

∴PE=-m2-2m+3，AE=m+3，

根据题意得：，

解得：m1=-2，m2=-3（舍去），

∴-m2-2m+3=

∴P1（-2，3），

或，

解得：m1＝，m2＝−3（舍去），

∴

∴P2(，)，

综上，点P坐标为P1（-2，3）或P2(，)．

(3)

连接AC交PE于点H，

由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的表达式为：y=x+3，

设P（m，-m2-2m+3），则H（m，m+3），

∴PH=-m2-3m

∴S△PAC＝⋅(−m2−3m)×3

∴S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC=

当m＝−时，S最大＝，此时点P的坐标为（-，）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．