新课标2022版高考数学总复习第二章函数第八节函数与方程课件文

这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第八节函数与方程课件文，共46页。

学习要求:1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程 根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使①    f(x)=0    的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与②    x轴    有交点⇔函数y=f(x)有 ③　零点    .
2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ④    f(a)·f(b)<0    ,那么函数y=f(x)在区间⑤　(a,b)    内有零点,即存在c∈ (a,b),使得⑥    f(c)=0    ,这个⑦    c　    也就是方程f(x)=0的根.我们把这一结 论称为零点存在性定理.▶提醒    (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断 函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函 数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证     f(a)·f(b)<0    ,给定精确度ε.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算     f(x1)    :(i)若     f(x1)=0    ,则x1就是函数的零点;(ii)若     f(a)·f(x1)<0    ,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));(iii)若     f(x1)·f(b)<0    ,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则,重复 第二、三、四步.
知识拓展　　(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.(5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　　)(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0. (　　)(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (　　)(4)若函数f(x)在(a,b)上的图象是连续的,且函数f(x)在(a,b)上单调,且f(a)·f(b)< 0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点. (　　)(5)对于任意的a∈R,函数f(x)=ex+a一定有零点. (　　)(6)对于任意的a∈R,函数f(x)=ln x+a一定有零点.(　　)
2.(2020湖北荆州中学高三模拟)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是 (     )A.(0,1)　　　    B.(1,2)　　　    C.(2,3)　　　    D.(3,4)
3.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有1个零点,则实数a的取值范围是 (　　)A.(-1,1)　　　    B.[1,+∞)C.(1,+∞)　　　    D.(2,+∞)
4.(2020浙江效实中学高三模拟)若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在1个零点, 则实数a的取值范围是　　 　 　    .
(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为　 　　    .
6.函数f(x)=ex+ x-2的零点有　　　    个.
考点一　函数零点所在区间的判断 
典例1　(1)设函数f(x)= x-ln x,则函数y=f(x)(　　)A.在区间 ,(1,e)内均有零点B.在区间 ,(1,e)内均无零点C.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点
(2)已知函数y= 的图象与函数y=x3的图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的区间为 (　　)
A.(0,1)　　　    B.(1,2)　　　    C.(2,3)　　　    D.(3,4)
方法技巧确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在 给定区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看两个函数图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连 续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点.
1.(2020河北冀州中学模拟)函数f(x)=ln x- 的零点所在的区间为 (　　)A.(0,1)　　　    B.(1,2)C.(2,3)　　　    D.(3,4)
2.(2020山西忻州一中模拟)若a解析　∵a0, f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函 数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数,∴最多有两个零点,∴函数f(x)的两个零点分别位于区 间(a,b),(b,c)内,故选A.
3.若x0是方程 = 的解,则x0属于区间 (　　)A. 　　　    B. C. 　　　    D. 
解析　令g(x)= , f(x)= ,则g(0)=1>f(0)=0,g = f = ,∴ 考点二　确定函数的零点 
典例2　(1)函数f(x)=3sin  x-l x的零点个数是 (　　)A.2　　　    B.3　　　    C.4　　　    D.5(2)若a满足x+lg x=4,b满足x+10x=4,函数f(x)= 则关于x的方程f(x)=x的解的个数是 (　　)A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4
典例3　已知函数f(x)= 则f(x)的零点为 (　　)A.1,2　　　    B.1,-2C.2,-2　　　    D.1,2,-2
方法技巧确定零点个数的方法(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理,要求函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b) <0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数,作出两函数的图象,观察其交点个数即得零点个数.
1.函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为 (　　)A.1　　　    B.2C.3　　　    D.4
解析　易知函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数⇔方程|lg0.5x|= = 的根的个数⇔函数y1=|lg0.5x|的图象与函数y2= 的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数的图象有两个交点,故选B. 
2.已知函数f(x)= 则函数y=f(f(x))+1的零点个数是(　　)A.4　　　    B.3　　　    C.2　　　    D.1
3.(2018课标全国Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cs 在[0,π]的零点个数为　　        .
4.已知f(x)= 则其零点为　　　    .
解析　当x>0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x -2=0,解得x=-1或x=2(舍去).综上,函数f(x)的零点为1,-1.
考点三　函数零点的应用 
典例4　(1)若函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 (　　)A.(1,3)　　　    B.(1,2)　　　    C.(0,3)　　　    D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内, 则m的取值范围是　　　    .
方法技巧根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定 参数的范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域的问题求解.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象, 然后数形结合求解.
1.已知函数f(x)=4x+a·2x+1+4没有零点,则实数a的取值范围是　　　    .
2.(1)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4在(-1,3)上有两个零点.(2)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大.
解析　(1) ⇒ ⇒m∈ .(2)设f(x)的两个零点分别为x1,x2,由题意得 ⇒ ⇒m∈(-5,-1).
微专题——利用图象优化函数零点的有关计算　　函数零点问题是高考函数、导数考查的重点和热点,要求学生掌握函数 零点的定义,能将不同类型函数的零点与方程的解以及函数图象的交点建立 联系,能对问题进行转化,能运用数形结合的数学思想正确解题,有时运用函 数的图象来解决一些小题,往往可以避开烦琐的讨论与计算.
典例1　已知函数f(x)=|lg x|,若0(1)此类问题如果f(x)的图象易于作出,可先作图以便于观察函数的特点.(2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量t,从而用t表示出a,b,达到消元效 果,但是要注意t是有范围的(通过数形结合y=t的图象与y=f(x)的图象有两个交 点);一个是通过图象判断出a,b的范围,从而去掉绝对值.
典例2　已知函数f(x)= (k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是 (　　)A.k≤2　　　    B.-1(1)本题体现了三类问题之间的联系:函数的零点⇔方程的根⇔函数图象的交 点,运用方程可进行等式的变形,进而构造函数进行数形结合,解决这类问题 要选择合适的函数,以便于作图和求出参数的取值范围.(2)本题所求k一方面决定f(x)左侧直线的倾斜角,另一方面决定水平线的位置 与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合.
典例3　已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x∈[1,3)时, f(x)=ln x,若在区间[1,9)内, 函数g(x)=f(x)-ax有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 (　　)A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
(1)利用 f(x)=f ,求当x∈[1,3)时, f(x)的解析式,及当x∈[3,9)时, f(x)的解析式.(2)参数a是直线y=ax的斜率,进行数形结合求a的取值范围.
1.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)= ,若在区间(-1,3)内,关于x的方程f(x)=kx+k(k∈R)有4个根,则k的取值范围是 (　　)A.0解析　根据周期性和对称性可作出f(x)的图象,直线y=kx+k(k∈R)过定点(-1, 0),结合图象,若(-1,3)内有四个交点,可知k∈ .若直线y=kx+k与曲线y=f(x)在(2,3)上相切,联立方程 ⇒ky2-y+3k=0,令Δ=0,得k= ,当k= 时,解得x=5∉(2,3).综上所述k∈ .
2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)= 则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0解析    f(x)为奇函数,所以先作出正半轴的图象,再作出负半轴的图象,当x>0 时,函数图象由两部分构成,分别作出各部分图象.函数F(x)的零点即为方程f(x)-a=0的根,即y=f(x)的图象与直线y=a的交点.观察图象可得有5个交点,x1,x2 关于直线x=-3对称,x1+x2=-6,x3<0且满足方程f(x3)=a⇒-f(x3)=-a⇒f(-x3)=-a,即l (-x3+1)=-a,解得x3=1-2a,x4,x5关于直线x=3对称,∴x4+x5=6.∴x1+x2+x3+x4+x5=1-2a.
3.已知函数f(x)= (a>0,a≠1),若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),则x1+x2的值 (　　)A.恒小于2　　　    B.恒大于2C.恒等于2　　　    D.与a相关