初中数学中考二轮专题练习 专题07 二次函数的应用

考点分析：二次函数的实际应用考察销售利润方案问题是最常见的，并且根据二次函数的性质，在一定的范围内，求出符合要求的最大值得出最大利润，那么我们就要对销售利润问题的知识掌握熟练，以下知识点能很好的帮助我们解决这类题目。

遇到二次函数的应用题我们需要考虑以下问题：

1.看清题目，理清楚条件，弄懂题目的意思，知道要求什么，便于我们找准合适的自变量X与相应的函数Y，这是开头也是非常重要的。

2.条件整理清楚后，抓住数量关系列出函数关系式，如果要研究面积那就根据求解面积来列式，如果要求利润那就列关于利润的表达式。

3.列完函数表达式之后要求最值，那么这里要首先写清楚自变量的取值范围，这一点很容易被忽略掉，自变量的取值决定着函数的最值在哪里可以取。

【例1】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)2＋(100－x)＋160(万元)．

(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；

(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；

(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？

【解析】(1)当x＝60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．

(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．

后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝＋＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1 065，表明x＝30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．

(3)有极大的实施价值．

方法总结  运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：

1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．

2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．

同步练习  某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求该服装店销售这批秋衣日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？

【例2】某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元．在销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x(万元)之间存在着如图3－2－2所示的一次函数关系．

(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)；

(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式，当销售单价x为何值时，月获利最大？并求这个最大值(月获利＝月销售额－月销售产品总进价－月总开支)；

图3－2－2

(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元．

(2)根据题意得z＝(x－4)y－11

＝(x－4)－11

＝－x2＋10x－43

＝－(x－10)2＋7，

∴当x＝10万元时，最大月获利为7万元．

(3)令z＝5，得5＝－x2＋10x－43，

整理，得x2－20x＋96＝0，

解得x1＝8，x2＝12，

 由图象(如答图)可知，要使月获利不低于5万元，销售单价应在8万元到12万元之间．

∵销售单价越低，销售量越大，

∴要使销售量最大，又要使月获利不低于5万元，销售单价应定为8万元．

同步练习  某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息①：销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品重量x(t)之间存在二次函数关系，如图3－2－1所示；信息②：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品重量x(t)之间存在正比例函数关系：y＝0.3x.根据以上信息，解答下列问题：

(1)求二次函数的表达式；

(2)该公司准备购进A，B两种产品共10 t，求销售A，B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．

图3－2－1

(2)设购进A产品m t，购进B产品(10－m)t，销售A，B两种产品获得的利润之和为W元，

则W＝－0.1m2＋1.5m＋0.3(10－m)

＝－0.1m2＋1.2m＋3＝－0.1(m－6)2＋6.6，

∵－0.1＜0，∴当m＝6时，W取得最大值，最大值为6.6万元．

答：当购进A产品6 t，购进B产品4 t时，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．

练习：

1.某商人将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高                                                                                      (　　)

A．8元或10元   B.12元

C．8元   D.10元

2．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：

(1)月销量y(件)与售价x(元)的关系满足：y＝－2x＋400；

(2)工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：

①这种文化衫的月销量最小为100件；

②这种文化衫的月销量最大为260件；

③销售这种文化衫的月利润最小为2 600元；

④销售这种文化衫的月利润最大为9 000元．

其中正确的是__①②③__(把所有正确结论的序号都填上)．

【解析】 由题意知当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，∵－2＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；设销售这种文化衫的月利润为W，则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9 800，∵70≤x≤150，∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2×(70－130)2＋9 800＝2 600元，故③正确；当x＝130时，W取得最大值，最大值为9 800元，故④错误．故答案为①②③.

3. 某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据．

(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.

(2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得

120＝2－2k＋9k＋27，解得k＝13，

∴x＝2n2－26n＋144，

将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也，等式成立，∴k＝13.

由题意，得18＝6＋，解得x＝50，

∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0，

∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根，

∴不存在某个月既不盈利也不亏损；

(3)设第m个月的利润为W，则

W＝x(18－y)＝18x－x＝12(x－50)

＝24(m2－13m＋47)，

∴第(m＋1)个月的利润为W′＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)，

若W≥W′，则W－W′＝48(6－m)，m取最小1，W－W′取得最大值240；

若W＜W′，则W′－W＝48(m－6)，由m＋1≤12知m取最大11，W′－W取得最大值240.

∴m＝1或11.

4.某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

若只在甲城市销售，销售价格为y(元/件)，月销量为x(件)，y是x的一次函数，如表所示：

成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72 500元，设月利润为W甲(元)(利润＝销售额－成本－广告费)．

若只在乙城市销售，销售价格为200元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，40≤a≤70)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W乙(元)(利润＝销售额－成本－附加费)．

(1)当x＝1 000时，y甲＝__190__元/件，W甲＝__67_500__元；

(2)分别求出W甲，W乙与x间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

(3)当x为何值时，在甲城市销售的月利润最大(销售价格不得低于成本)？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a的值；

(4)如果某月要将5 000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？

(2)W甲＝－x2＋150x－72 500，

W乙＝－x2＋(200－a)x；

(3)∵y甲＝－x＋200＞50，∴0＜x＜15 000，

∴当x＝－＝7 500时，W甲最大．

由题意，得

＝，

解得a1＝60，a2＝340(不合题意，舍去)，∴a＝60；