专题04 切线的判定与性质

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专题04 切线的判定与性质
一．选择题
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．圆的切线垂直于经过切点的半径
B．垂直于切线的直线必经过切点
C．垂直于切线的直线必经过圆心
D．垂直于半径的直线是圆的切线
解：A、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确；
B、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；故本选项错误；
C、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误；
故选：A．
2．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为（　　）

A．4或﹣4 B．4﹣或4+ C．﹣4+或4+ D．4﹣或4+
解：在y＝﹣x+1中，
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝，
∴A（0，1），B（，0），
∴AB＝2；
如图，设⊙M与AB相切与C，
连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，
∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，
∴△BMC～△BAO，
∴＝，即＝，
∴BM＝4，
∴OM＝4﹣，或OM＝4+．
∴m＝﹣4，m＝4+．
故选：C．

3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）

A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，
∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，
∴CN＝AB＝2，
∵∠1＝60°，
∴MN＝＝，
故A与B正确；
如图3，
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO＝NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．
故C正确；
如图2，∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴∠AMO＝∠1＝30°，
∴AM＝；
∵∠AM′O＝60°，
∴AM′＝，
∴若MN与⊙O相切，则AM＝或；
故D错误．
故选：D．


4．如图，∠ACB＝60°，半径为3的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）

A．3 B．3 C．6π D．
解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．

∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，
∴∠OCD＝∠ACB＝30°，
∵OP＝OD＝3，
∴CD＝3．
故选：B．
5．如图，AB是⊙O的直径，＝，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，已知AB＝2，∠F＝30°，则四边形ABEC的面积是（　　）

A．2 B． C． D．
解：连接OD、OC、BC，如图：
∵AB是⊙O的直径，AB＝2，
∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝AB＝1，
∵BE⊥FE，∠F＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠F＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵＝，
∴∠AOC＝∠COD＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是边长为1的等边三角形，
∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝AC＝，∠CBE＝60°﹣30°＝30°，
∴CE＝BC＝，BE＝CE＝，
∴四边形ABEC的面积＝△ABC的面积+△BCE的面积＝×1×+××＝；
故选：B．

6．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∠D＝110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（　　）

A． B． C． D．
解：连结OC、OD、OA，如图，
∵∠D＝110°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
∵∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∵的度数是70°，
∴∠COD＝70°，
∴∠AOD＝70°，∠BOC＝50°，
∴AD弧的长度＝＝π，
∴BC弧的长度＝＝π，
∵70π＝6π•12﹣2π，
而2π＞π，
∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．
故选：C．

7．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③直线CM与⊙D相切．其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C（0，4），
∴CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②错误；
由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），
∵C（0，4），
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故③正确；
故选：C．
8．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　）

A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
解：A、如图，连接OE，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B＝60°，OB＝OE，
∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC＝60°，
∴OH＝AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图，∵BE＝EC，
∴CE＝BE，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE＝OB，
∴OH＝AO＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．

9．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）

A．9 B．10 C．8 D．12
解：连接OE，延长EO交BF于点M，

∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝B′C＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半径为8cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切，此时⊙O移动了（　　）cm．

A．56 B．72 C．56或72 D．不存在
解：存在这种情况，
设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，
由题意，得＝＝，
如图②：

设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，
若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G＝O1H．
易得△DO1G≌△DO1H，
∴∠ADB＝∠BDP．
∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠CBD
∴∠BDP＝∠CBD，
∴BP＝DP．
设BP＝xcm，则DP＝xcm，PC＝（80﹣x）cm，
在Rt△PCD中，由勾股定理，得
PC2+CD2＝PD2，即（80﹣x）2+402＝x2，
解得x＝50，
此时点P移动的距离为40+50＝90（cm），
∵EF∥AD，
∴△BEO1∽△BAD，
∴＝，即＝，
EO1＝64cm，OO1＝56cm．
①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为40cm，
此时点P与⊙O移动的速度比为＝＝，
∵≠，
∴此时PD与⊙O1不能相切；
②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，⊙O移动的距离为2（80﹣16）﹣56＝72（cm），
∴此时点P与⊙O移动的速度比为＝＝，
此时PD与⊙O1恰好相切．此时⊙O移动了72cm，
故选：B．
二．填空题
11．直线l经过点A （4，0），B（0，2），若⊙M的半径为1，圆心M在x轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标　 　．
解：∵直线l经过点A（4，0），B（0，2），
∴AB＝＝2，
设M坐标为（m，0）（m＞0），即OM＝m，
若M′在A点左侧时，AM′＝4﹣m，
当AB是⊙O的切线，
∴∠M′C′A＝90°，
∵∠M′AC′＝∠BAO，∠M′C′A＝∠BOA＝90°，
∴△M′AC′∽△BAO，
∴＝，即＝，
解得：m＝4﹣，此时M′（4﹣，0）；
若M在A点右侧时，AM＝m﹣4，
同理△AMN∽△BAO，则有＝，即＝，
解得：m＝4+．此时M（4+，0），
综上所述，M（4﹣，0）或（4+，0），
故答案为：M（4﹣，0）或（4+，0），

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为　 　．

解：作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，
当⊙P与AD相切时，PE＝PC，
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
当⊙P与AB相切时，PF＝PC，
∵PF⊥AB，CB⊥AB，
∴PF∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长或，
故答案为：或．

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　 　．

解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，
解得，x＝10，
∴BD＝10，
∵AB＝，
∴AE＝BE＝AB＝4，
∴DE＝，
∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，
分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，

∴PF＝5，PF∥CD，
∴△APF∽△ADC，
∴，即，
∴；
②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，

∴PG＝5，PG∥AC，
∴△DPG∽△DAC，
∴，即，
∴DP＝，
∴AP＝10﹣，
综上，AP的长为或．
14．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是　 　．

解：连接AD，
∵D为BC中点，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，①正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
即AD⊥BC，又BD＝CD，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C，②正确；
∵DE⊥AC，且DO∥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA＝90°，
∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵OA＝OB＝AB，
∴OA＝AC，
∴③正确，
故答案为：①②③④⑤．

15．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　 　．

解：∵直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝3，
∴A（3，0），B（0．﹣3），
∴OA＝3，OB＝3，
∴AB＝6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝2，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2，
∴P（3﹣2，0）或P（3+2，0），
故答案为（3﹣2，0）或P（3+2，0）．

三．解答题
16．如图，三角形ABC中，AC＝10，AB＝12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，D为AB的中点，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．

证明：（1）连接OD、CD，

∵BC是直径，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴D是AB的中点，
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）连BG，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝＝＝8，
∵AB•CD＝2S△ABC＝AC•BG，
∴BG＝＝，
∴CG＝＝＝，
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E＝∠CBG，
∴sin∠E＝sin∠CBG＝＝＝．
17．如图，圆O的直径AB＝12cm，C为AB延长线上一点，点P为中点，过点B作弦BD∥CP，连接PD．
（1）求证：CP与圆O相切；
（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．

（1）证明：连接OP，交BD于点E，

∵点P为的中点．
∴BD⊥OP，
∵BD∥CP，
∴∠OEB＝∠OPC＝90°
∴PC⊥OP，
∴CP与⊙O相切于点P；
（2）解：∵∠C＝∠D，
∵∠POB＝2∠D，
∴∠POB＝2∠C，
∵∠CPO＝90°，
∴∠C＝30°，
∵BD∥CP，
∴∠C＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBA，
∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形，
∵PO＝AB＝6，
∴PC＝6，
∵∠ABD＝∠C＝30°，
∴OE＝OB＝3，
∴PE＝3，
∴四边形BCPD的面积＝PC•PE＝6×3＝18．
18．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交CA的延长线于点F，延长BA交⊙O于G，且∠BAF＝2∠C．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若tan∠EFC＝，求的值．

解：（1）连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC，
∵∠BAF＝2∠C，∠BAF＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴AB∥OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DF，
∴DE为⊙O的切线；

（2）过O作OH⊥AG于点H，则AH＝GH，EF∥OH，
∴∠AOH＝∠EFA，
∵tan∠EFC＝，
∴tan∠AOH＝＝，
∴设AH＝3x，则AG＝2AH＝6x，OH＝4x，
∴，
∴AC＝2AO＝10x，OD＝OA＝5x，
∵tan∠EFC＝＝，
设AE＝3y，则EF＝4y，
∴AF＝，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△ODF，
∴，即，
∴，
∴AE＝3y＝2x，
∴BE＝AB﹣AE＝10x﹣2x＝8x，
∴＝．
19．如图，点B为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，点P为OB上一点且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC，OC⊥OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，⊙O的半径为8．求AP的长．

（1）证明：∵BP＝BA，OA＝OC，
∴∠BAP＝∠BPA，∠PAO＝∠C，
∵OC⊥OB，
∴∠COP＝90°，
∴∠OPC+∠C＝90°，
∵∠OPC＝∠BPA，
∴∠BAP＝∠OPC，
∴∠BAP+∠OAP＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，
∵⊙O的半径为8，
∴CO＝OA＝8，
由（1）得：∠BAO＝90°，
∴AB＝＝＝6，
∴BP＝BA＝6，
∴OP＝OB﹣BP＝4，
在Rt△CPO中，OP＝4，CO＝8，
∴CP＝＝＝4，
∵BA＝BP，BD⊥AP，
∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，
∵∠BPD＝∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴＝，
即＝，
解得：PD＝，
∴AP＝2PD＝．

20．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵OE∥BD，
∴∠OEB＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵BF＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵∠DEB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠OBE，
∴ED∥OB，
∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，
∴四边形OEDB是菱形．