专题07 动点引起的等腰直角三角形存在性问题（解析版）

专题07 动点引起的等腰直角三角形存在性问题

△ABP为等腰直角三角形，黑色部分为P点位置.

【一题多解 · 典例剖析】

例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．

（1）求函数图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．

①求c的取值范围；②求的度数；

（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【一题多解 · 对标练习】

练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【多题一解 · 典例剖析】

例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．

（1）求、的值；

（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【多题一解 · 对标练习】

练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．

（1）求抛物线的关系式及点的坐标；

（2）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．

练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积．