利用函数性质判定方程解的存在性PPT课件免费下载

§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
一、【素养目标】

1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
二、【课程的主要内容】

1．理解函数的零点、方程的根与图象与x轴交点三者之间的关系．(数学抽象)2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(直观想象)3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(逻辑推理)
函数的零点(1)零点的概念：如果函数y＝f(x)在实数_____________________，即_____________，则a为函数f(x)的零点．(2)零点的意义
思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)所有的函数都有零点吗？
零点存在定理(1)零点存在定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条_______的曲线，并且在区间端点的函数值_________，即___________ ,则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程_____________至少有一个解．(2)本质：函数在区间(a，b)内存在零点即方程f(x)＝0有解的理论依据．(3)应用：判断函数零点(方程的解)所在区间或求规定区间内函数零点(方程的解)的个数等问题．
f(a)·f(b)＜0
思考2：函数零点存在定理要求具备哪些条件？提示：定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0．

三、【例题剖析】

1．函数y＝x2－2x的零点是( )A．0,2B．－2,0 C．1,0D．－1,0[解析] 函数y＝x2－2x的零点就是方程x2－2x＝0的实数根，解x2－2x＝0，得x1＝0，x2＝2．故选A．
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
[解析] 选项D中，函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝_____，b＝_______．
4．求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．
求下列函数的零点：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6．[分析] 把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解．
解析：(1)令x－1＝0，得x＝1，∴函数y＝x－1的零点是1．(2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3，∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3．
[归纳提升] 函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点横坐标即为函数的零点．
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，所以2x＝3，解得x＝lg23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是lg23．(4)令1－lg3x＝0，所以lg3x＝1，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－lg3x的零点是3．
[解析] (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4．
[归纳提升] 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有几个零点．(2)图象交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象，根据图象的交点个数判断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有几个零点．
[归纳提升] 判断函数零点所在区间的步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

四、【课堂练习】

【对点练习】❸ 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)[解析] 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1＜0，f(0)＝1－2＜0，f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.40－4＝3.40＞0．由于f(1)·f(2)＜0，所以方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_____________．[分析] 把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象有且仅有两个交点问题，画出两个函数的图象，然后利用数形结合思想求出参数a的范围．
[解析] 函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．由图易知，当a＞1时，两函数的图象有且仅有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
[归纳提升] 已知函数有零点(方程有根)求参数的方法1．直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围．2．数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x)＝g(x)(h(x)，g(x)的图象易画出)，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)，g(x)的图象，然后利用数形结合思想求解．
1．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11＜0，∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．
3．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝______．[解析] ∵函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为1，∴2－a＋3＝0，∴a＝5．∴f(x)＝2x2－5x＋3，∴f(－1)＝2×(－1)2－5×(－1)＋3＝10．
4．函数f(x)＝x2＋kx－2k2的顶点在直线x＝2上，求f(x)的零点．