数学必修 第一册3 函数的单调性和最值教课ppt课件

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§3　函数的单调性和最值
第2课时　函数单调性的应用
[分析]　通过函数的图象判断单调性，再进行证明．
[归纳提升]　证明的关键是作差之后的变形，变形的结果应是几个因式乘积的形式．关于定义法证明函数的单调性(1)步骤：
(2)实质：通过代数运算的结果证明函数的单调性．
[分析]　利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[归纳提升]　1．利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．2．利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
　　　　已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)＞f(11＋8a)，求实数a的取值范围．[分析]　根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．
[归纳提升]　利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
【对点练习】❸　已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)，求实数t的取值范围．
混淆“单调区间”和“区间上单调”　　　　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为___________．[错解]　函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3．故填a≤－3．[错因分析]　导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上单调”．[正解]　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3．故实数a的取值集合是{－3}．
[方法点拨]　单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
1．函数y＝－|x|在R上(　　)A．有最大值0，无最小值B．无最大值，有最小值0C．既无最大值，又无最小值D．以上都不对[解析]　函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．
2．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值(　　)A．是f(0)B．是f(3)C．是0D．不存在[解析]　∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
3．(2021·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则(　　)A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)
[解析]　当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，∴f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝f(2)＝10．当－4≤x＜1时， f(x)＝7－x，∴f(x)在[－4,1)上单调递减，∴f(x)max＝f(－4)＝11．综上可知f(x)max＝f(－4)＝11．