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§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.2 一元二次不等式及其解法
一、【课程的主要内容】

一元二次不等式(1)定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式________的所有__________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
思考2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．

二、【课堂练习】

1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．( )(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R．( )(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．( )
[解析] (1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅．(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．(4)当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．
2．不等式2x≤x2＋1的解集为( )A．∅ B．RC．{x|x≠1}D．{x|x＞1或x＜－1}[解析] 将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．
3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为_______________________．
解下列不等式．(1)2x2－3x－2＞0；(2)－x2＋2x－3＜0；(3)－3x2＋5x－2＞0．[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．
[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．

三、【例题剖析】

【对点练习】❶ 不等式6x2＋x－2≤0的解集为_______________．
已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．[分析] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
【对点练习】❷ 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R．
[归纳提升] 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0．(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．

四、【拓展提升】

【对点练习】❸ 解关于x的不等式ax2－x＞0．
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?(1)y＝3x2－6x＋2；(2)y＝25－x2；(3)y＝x2＋6x＋10；(4)y＝－3x2＋12x－12．
(2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－5＜x＜5时，函数值大于0；当x＞5或x＜－5时，函数值小于0．(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0．(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0．