高中数学人教版新课标A必修52.1 数列的概念与简单表示法巩固练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.1 数列的概念与简单表示法巩固练习，共15页。试卷主要包含了1　数列的概念与简单表示法，下列说法正确的是，3,0等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 对数列概念的理解
1.下列说法正确的是( )

A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
D.数列n+1n的第k项为1+1k
2.下面四个结论:
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;
②数列若用图象表示,从图象上看是一系列孤立的点;
③数列的项数是无限的;
④数列的通项公式是唯一的.
其中正确的是( )
A.①② B.①②③
C.②④ D.①②③④
题组二 数列的通项公式
3.数列-12,14,-18,116,…的一个通项公式是( )
A.-12n B.(-1)n2n
C.(-1)n+12n D.(-1)n2n+1
4.已知数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( )
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
5.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2n-8(n∈N*),则a4=( )
A.1 B.2 C.0 D.3
6.数列{an}的通项公式是an=-n2+4n+21(n∈N*),这个数列从第 项起各项都为负数( )
A.6 B.7
C.8 D.9
7.根据下列5个图形及相应点的个数变化规律,试猜测第6个图形中有 个点.
8.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)3,5,9,17,33,…;
(2)-1,12,-13,14,…;
(3)0.3,0.33,0.333,0.333 3,…;
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,….
题组三 数列的递推公式
9.已知数列{an}中,an-1=man+1(n∈N*,n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )
A.0 B.25 C.2 D.5
10.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于( )
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
11.数列{an}中,若an+1=an2an+1,a1=1,则an= .
12.数列{an}中,对所有n∈N*都有a1·a2·…·an=n2,则a1+a3+a5= .
题组四 数列的性质
13.已知数列{an}的通项公式是an=nn+1,那么这个数列是 ( )
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
14.数列{an}中,若a1=1,an+1=1an+1-1,则a2 020=( )
A.-1 B.-12 C.12 D.1
15.数列{an}中,an=-2n2+29n+3(n∈N*),则此数列中的最大值是( )
A.107 B.108 C.8658 D.109
16.已知正项数列{an}满足an+1=2an2+an,则an与an+1的大小关系是 .
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)给出以下通项公式:

①an=22[1-(-1)n];②an=1-(-1)n;
③an=2,n为奇数,0,n为偶数.其中可以作为数列2,0,2,0,2,0,…的通项公式的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)已知数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1-an,则a2 020的值为( )
A.2 B.-3 C.-12 D.13
3.(★★☆)古印度“汉诺塔问题”:一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱,其中细柱A上套着大小不等的环形金盘,大的在下、小的在上.将这些盘子全部移到另一根柱子上,移动规则如下:一次只能将一个金盘从一根柱子移到另外一根柱子上,不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱子A上有3个金盘(如图),将柱子A上的金盘全部移到柱子B上,则至少需要移动的次数为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
4.(★★☆)已知数列{an},a1=x,a2=y,an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),那么a2 016等于( )
A.x-y B.y-x C.-x D.-y
5.(2021四川南充高级中学高三月考,★★☆)函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,若数列{an}满足an=f(n),n∈N*,且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.94,3 B.94,3
C.(1,3) D.(2,3)
6.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考,★★★)已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1A.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5<1
7.(多选)(2020福建三明高一期末,★★★)已知数列{an}满足a1=-11,且3(2n-13)an+1=(2n-11)an,则下列结论正确的是( )
A.数列{an}的前10项都是负数
B.数列{an}先增后减
C.数列{an}的最大项为第九项
D.数列{an}的最大项的值为1729
二、填空题
8.(2019河北石家庄第二中学高二月考,★★☆)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)= .
9.(★★☆)已知数列{an}满足an+1=2an0≤an<12,2an-112≤an<1.若a1=67,则a2 020= .
10.(★★☆)数列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*),则a2等于 .
三、解答题
11.(★★☆)写出下列数列的一个通项公式.
(1)-11+1,14+1,-19+1,116+1,…;
(2)2,3,5,9,17,33,…;
(3)12,25,310,417,526,…;
(4)1,43,2,165,….
12.(★★☆)已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)对于任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
13.(★★☆)已知数列{an}的通项公式为an=n22n(n∈N*),则数列{an}是否存在最大项?若存在,求出最大项;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
基础过关练
1.D A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;C中的数列应记为{2(n-1)},故A、B、C均错,易知D正确,故选D.
2.A 易知①②正确;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是an=sinnπ2,也可以是an=cs(n+3)π2,④错.故选A.
3.B 所给的数列每一项的分子都是1,分母等于2n,每一项的符号为(-1)n,故此数列的一个通项公式是(-1)n2n.
4.B 由数列前几项归纳可知通项公式为an=3n-1,∴3n-1=25,∴n=7,∴25是这个数列的第七项,故选B.
5.C 因为an=n2-2n-8(n∈N*),所以a4=42-2×4-8=0,故选C.
6.C 令an=-n2+4n+21<0,即(n-7)(n+3)>0,∴n>7或n<-3.∵n∈N*,∴n>7,
∴这个数列从第8项起各项都为负数.
7.答案 31
解析 观察题中(1)图有1个点,(2)图有3=1×2+1个点,(3)图有7=2×3+1个点,(4)图有13=3×4+1个点,(5)图有21=4×5+1个点,所以猜想第n个图有(n-1)n+1个点,
故第6个图形中有(6-1)×6+1=31个点.
8.解析 (1)∵3=21+1,5=22+1,9=23+1,17=24+1,……,∴an=2n+1(n∈N*).
(2)此数列可以看成是自然数列的倒数,正负相间用(-1)n表示,则数列的一个通项公式为an=(-1)n·1n(n∈N*).
(3)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的通项公式为an=1-110n,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的13,所以0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式为an=131-110n(n∈N*).
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,
所以数列的一个通项公式为an=n+1+(-1)n2(n∈N*).
方法总结 1.根据所给数列的前几项的值求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征;
(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.
2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
9.B 由递推公式知a2=ma3+1,故3=5m+1,解得m=25.
10.C ∵对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,∴p=q=n时,有a2n=2an,
又a2=-6,∴a8=2a4=4a2=-24,
故a10=a2+a8=-30.
11.答案 12n-1
解析 由已知可推得:a2=13,a3=15,a4=17,a5=19,……,归纳得an=12n-1.
12.答案 7716
解析 ①当n=1时,a1=12=1.
②当n≥2,n∈N*时,a1·a2·…·an=n2,
a1·a2·…·an-1=(n-1)2,
两式相除得an=n2(n-1)2.
∵当n=1时,n2(n-1)2无意义,
∴an=1,n=1,n2(n-1)2,n≥2.
∴a1+a3+a5=1+94+2516=7716.
13.A 因为an=nn+1=(n+1)-1n+1=1-1n+1,函数y=1-1x+1在x∈[1,+∞)上单调递增,所以数列{an}是递增数列.
14.B 由题意知,a1=1且an+1=1an+1-1,令n=1,得a2=-12,令n=2,得a3=1,所以数列{an}是周期为2的周期数列.故a2 020=a2=-12.
15.B 由已知,得an=-2n2+29n+3=-2×n-2942+8658,由于n∈N*,故当n取距离294最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
16.答案 an+1解析 ∵an+1=2an2+an,
∴an+1-an=2an2+an-an=-an22+an.
∵数列{an}为正项数列,∴an+1-an<0,
即an+1解题模板 (1)比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小,常用方法有作差法和作商法;
(2)利用数列的单调性:数列{an}递增,则an+1>an,数列{an}递减,则an+1对于通项公式较复杂的数列,常采用“特值探路”的策略,并结合数列的单调性求解.
能力提升练
一、选择题
1.D 经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.
2.D 由题意得a2=1+21-2=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2,所以数列{an}是以4为周期的周期数列,所以a2 020=a4=13.
3.B 用an表示将n个盘子从一根柱子移到另一根柱子所必须移动的次数,显然a0=0,a1=1.对于n个盘子,把柱子A上的n-1个盘子移到柱子C上而且保持相对位置不变,这需要an-1次,再把柱子A上的最大的盘子移到柱子B上,用1次,然后把柱子C上的盘子按要求移到柱子B上,还需用an-1次,所以有an=2an-1+1,n≥2,n∈N*,所以a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,即将柱子A上的金盘全部移到柱子B上,至少需要移动的次数为7,故选B.
4.A 由已知得:a3=a2-a1=y-x,a4=a3-a2=-x,a5=a4-a3=-y,a6=a5-a4=x-y,a7=a6-a5=x,……,
∴数列{an}是周期为6的周期数列,
∴a2 016=a6=x-y.故选A.
5.D 由题意可知分段函数为增函数,且f(8)>f(7),即3-a>0,a>1,a8-6>(3-a)×7-3,
解得26.D ∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1an+1-an,
∴{an+1-an}为单调递增数列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.
7.BD 将等式整理得an+1=2n-113(2n-13)an=13-62n-11an,n∈N*,
当13-62n-11>0时,解得n<112或n>132且n∈N*,当13-62n-11<0时,解得112对于A,∵a1=-11,∴数列前6项都为负,之后都为正,故A错误;
对于B,对所有的n∈N*,当n<112时,满足0<13-62n-11<1,又a1为负,∴当n∈{1,2,3,4,5}时,a1乘一个小于1的正数,an在增加;
若n=5,则a6=-13×(-3)a5=19a5<0,
若n=6,则a7=-13a6>0,当n≥7时,a7为正数,a7乘一个小于1的正数,an在减少,故B正确;
对于C,数列{an}的最大项为第七项,故C错误;
对于D,a7=-13a6=-13×19a5=-13×19×15a4=-13×19×15×521a3=-13×19×15×521×727a2=-13×19×15×521×727×311a1=1729,故D正确.故选BD.
二、填空题
8.答案 61
信息提取 ①f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25;②小正方形的摆放规律相同.
数学建模 本题以小正方形的个数变化为背景,构建“数列模型”.该数列的前四项分别是1,5,13,25.探索其中的规律,总结出f(n).
解析 由题图得, f(1)=1=2×1×0+1,
f(2)=1+3+1=2×2×1+1,
f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,
……
故f(n)=2n(n-1)+1.
当n=6时, f(6)=2×6×5+1=61.
9.答案 67
解析 由题意可得,a2=2a1-1=2×67-1=57,a3=2a2-1=2×57-1=37,a4=2a3=2×37=67,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,所以a2 020=a1=67.
10.答案 9
解析 由(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3,n∈N*)①,得nan+1=a1+a2+…+an②,
②-①,得nan+1-(n-1)an=an(n≥3,且n∈N*),
即an+1=an(n≥3,且n∈N*),
又a9=8,∴a3=8,
又2a3=a1+a2,a1=7,
∴a2=2a3-a1=9.
三、解答题
11.解析 (1)第n项的符号为(-1)n,分子都是1,分母是n2+1,
∴an=(-1)n·1n2+1.
(2)∵a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,∴an=2n-1+1.
(3)∵a1=12=112+1,a2=25=222+1,a3=310=332+1,a4=417=442+1,……,
∴an=nn2+1.
(4)∵a1=1=22,a2=43,a3=2=84,a4=165,……,∴an=2nn+1.
12.解析 (1)由n2-5n+4<0,解得1所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
an=n2-5n+4=n-522-94,
由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.
(2)对于任意的n∈N*,都有an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4=n+k22+4-k24可以看成是关于n的二次函数,其中n∈N*,
所以-k2<32,所以k>-3,
故实数k的取值范围是(-3,+∞).
13.解析 存在最大项.A1=12,a2=2222=1,a3=3223=98,a4=4224=1,a5=5225=2532,…….
∵当n≥3时,an+1an=(n+1)22n+1×2nn2=(n+1)22n2=121+1n2<1,
∴an+1又∵a1a4>a5…,
∴当n=3时,a3=98是数列{an}的最大项.