专题01 实数（课件）

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1．实数：（1）定义：有理数和无理数统称为实数．（2）分类：①按定义分类 ②按大小分类
（3）实数与数轴上的点是一一对应的．
【注意】常见的4种无理数类型：①根号型：如 ， 等开方开不尽的数；②三角函数型：如sin60°，tan30°等；③构造型（特殊规律型）：如0．1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）等；④与π有关的数：如 ，π-1等．判断一个数是不是无理数，不要只看形式，要看化简结果是不是无限不循环小数．
2．数轴：规定了原点、正方向和 单位长度 的直线叫做数轴．数轴上的点与实数一一对应． 3．倒数：当a≠0时，a与 互为倒数，即a、b互为倒数⇔ab＝1． 0没有倒数，倒数等于本身的数是±1． 
4．相反数：a的相反数是－a，0的相反数为0；a、b互为相反数⇔a＋b＝0．5．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|，离原点越远的数的绝对值越大．|a|＝
6．实数的比较大小：（1）性质比较法： ①正数>0>负数； ②两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而　小　　；  ③若一组数据中有正数，0，负数，求最大的数时在正数中找，求最小的数时在负数中找．（2）数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数　 大　　． （3）差值比较法：对于任意实数a，b：a-b>0⇔　a>b ；a-b=0⇔　a=b ；a-b<0⇔　a7．非负数：非负数：正数和 0 统称非负数．若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于 0 ，即若A≥0，B≥0，C≥0，A＋B＋C＝0，则A＝B＝C＝0．
【例1】（2020•福建14/25）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为 米．
【考点】正数和负数【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，-10907该处的高度可记为-10907米，故答案为： -10907．【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【例2】（2020•河南11/23）请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【考点】估算无理数的大小【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．【解答】解：大于1且小于2的无理数是 ，答案不唯一．故答案为： ．【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【例4】（2020•江西1/23）-3的倒数是（　　） A． 3 B．-3 C． D．
【考点】倒数【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解： -3的倒数是 ．故选：C．【点评】此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【例5】（2020•北京6/28）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　） A．2B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【考点】实数与数轴． 【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：因为1＜a＜2，所以﹣2＜﹣a＜﹣1，因为﹣a＜b＜a，所以b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．
1．近似数：表示数据时，有时很难取得准确数，或者不必使用准确数，我们可以使用近似数来表示，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度来表示．2．科学记数法：（1）定义：把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．（2）n值的确定：设这个数为m：①当|m|≥10时，n等于原数的整数位数减1；②当|m|<1时，|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零)．【注意】遇到带单位的数，注意单位的换算：1亿=108，1万=104，1 mm=10-3m等．
3．科学记数法的还原（1）绝对值大于10的数的还原：将数a的小数点向右移动n位；（2）绝对值大于0且小于1的数的还原：将数a的小数点向左移动|n|位．
【例6】（2020•海南2/22）从海南省可再生能源协会2020年会上获悉，截至4月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约772000000千瓦时．数据772000000可用科学记数法表示为（ ） A．772×106B．77.2×107 C．7.72×108D．7.72×109
【考点】科学记数法—示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于772000000有9位，所以可以确定n=9-1=8．【解答】解：772000000=7.72×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
【例7】（2020•赤峰2/26）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（　　）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣8
【考点】科学记数法—表示较小的数．【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000000099＝9.9×10-9，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
1．运算律：（1）加法交换律：a＋b＝ b＋a ．（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． （3）乘法交换律：ab＝ba．（4）乘法结合律：(ab)c＝ a(bc)． （5）乘法分配律：a(b＋c)＝ ab＋ac．
2．几种常见的运算：（1）乘方：an=a·a·····a(n个a相乘)（2）零次幂：任何非零实数的零次幂都为1，即a0= 1 (a≠0) （3）负整数次幂：规定a-n= (a≠0，n为正整数)，特别地，a-1= (a≠0) （4）-1的整数次幂：(-1)n=
3．运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先进行 括号内的 运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行 ．【注意】在进行负整数指数幂的运算时，防止出现以下错误：（1）3-2= （2）2a-2=
【例8】（2020•青海21/28）计算：
【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算；零指数幂【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则运算即可．【解答】解：原式 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．