专题19 四边形（课件）

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1.多边形：（1）内角和：n边形的内角和为(n－2) ×180°．四边形的内角和等于360°．（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．（3）对角线：在多边形中连接 互不相邻 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ①n边形共有 条对角线． ②从一个顶点出发的对角线把n边形分成 (n-2)个三角形．（4）不稳定性：n边形(n>3)具有不稳定性．【温馨提示】（1）多边形的外角和与边数无关；（2）多边形的内角中最多有3个锐角．
2.正多边形：（1）边：各条边 都相等 ．（2）内角：各个内角 都相等 ，且正n边形的每个内角为 ．（3）外角：各个外角相等，且正n边形的每个外角为 ．（4）对称性：①正多边形都是　轴　对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是 中心 对称图形．②正n边形有　n　条对称轴 ．3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
【例1】（2020•重庆A卷14/26）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成(n-2) ·180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得： (n-2) ·180°=2×360°，解得n=6．故答案为：6．
【例2】（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以 ，BC=DC，所以 ，所以∠BDM =180°-36°=144°，故答案为：144°．
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等．（2）平行四边形的对边平行且相等．推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．
3.平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4.面积： S=ah（a表示一条边长，h表示此边上的高） ．5.相关结论：（1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成 面积相等 的四个三角形． （2）同底等高的平行四边形的面积相等．（3）若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积．
【例3】（2020•宁夏21/26）如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．∴∠FEA=∠DEC，∠F=∠ECD．又EA=ED，∴△AFE≌△DCE．∴AF=DC．∴AF=AB．
【例4】（2020•陕西18/25）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．E是边BC上一点，且DE=DC．求证：AD=BE．
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C．∵∠B=∠C，∴∠B=∠DEC，∴ AB∥BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．
1．矩形：（1）矩形的概念：有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形．（2）矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质．②矩形的四个角都是直角．③矩形的对角线相等．④矩形既是轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心是　对角线的交点　．
（3）矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．（4）矩形的有关计算：①周长C矩形=2(a+b) （其中a为长，b为宽）．②面积S矩形=长×宽=ab （其中a为长，b为宽）．
2．菱形：（1）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质．②菱形的四条边相等．③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是 对角线的交点 ．
（3）菱形的判定：①定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．②定理1：四边都相等的四边形是菱形．③定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（4）菱形的有关计算： ①周长C菱形=4a （其中a为边长）．②面积S菱形=ah=两条对角线乘积的一半 （其中a为边长，h为此边上的高）．
3．正方形：（1）正方形的概念： 四条边 都相等，四个角都是 直角 的四边形是正方形．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质：①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．②正方形的四个角都是直角，四条边都相等．③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．④正方形是轴对称图形，有4条对称轴，又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．⑤正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形．⑥正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
（3）正方形的判定：①判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等．先证它是菱形，再证有一个角是直角．②判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）．（4）正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形= ．
4.总结：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理：
5. 梯形：（1）梯形的概念：一组对边平行，另一组对边 不平行 的四边形叫做梯形． 两腰 相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（2）等腰梯形的性质：①等腰梯形的两腰相等，两底平行．②等腰梯形的 两条对角线 相等．③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线．
（3）等腰梯形的判定：①定义：两腰相等的梯形是等腰梯形．②定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．③对角线相等的梯形是等腰梯形．（4）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
【例5】（2020•青海6/28）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC=120°，DC=3 cm，则AC的长为 cm．
【解答】解：在矩形ABCD中，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠BOC=120°，∴∠OCB=30°，∵DC=3 cm，∴AB=CD=3 cm，在Rt△ABC中，AC=2AB=6 cm，故答案为：6
【例6】（2020•福建18/25）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE=DF．求证：∠BAE=∠DAF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中， ，∴△ABE≌△ADF （SAS），∴∠BAE=∠DAF．
【例7】（2020•广东9/25）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ） A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°-∠BEF-∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE =3-x，∴2(3-x)=x，解得x=2．故选：D．
1．中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形．中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理．2. 常见结论如下：
【例8】（2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【解答】如右图，顺次连接任意四边形的四边中点，得到的四边形一定是平行四边形；如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接它的中点得到的四边形是矩形．