专题16 二次函数及其应用（学案）

这是一份专题16 二次函数及其应用（学案），共56页。

2021年中考数学一轮专题复习
学案16 二次函数及其应用




考点
课标要求
考查角度
1
二次函数的意义和函数表达式
通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义
常以选择题、填空题的形式考查二次函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查
2
二次函数的图象和性质
①会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
②会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴；
③会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
常以选择题、填空题的形式考查二次函数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线的平移、二次函数与方程的关系等基础知识，以解答题、探究题的形式考查二次函数综合能力
3
二次函数的应用问题
能用二次函数知识解决某些实际问题
多以选择题、填空题、解答题的形式考查二次函数在实际生活中的应用

知识点1： 二次函数的概念


知识点梳理

1.二次函数的概念：
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数．
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．
2. 二次函数的解析式：
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．
3.用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．
（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．
（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
典型例题
中考命题说明

【例1】（2019·甘肃）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1．
【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可．
【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
知识点2： 二次函数的图象和性质



知识点梳理


1.二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线．
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线，顶点是（，）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．
（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．
2.二次函数图象的画法：
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
3.二次函数的性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上， a＜0时，抛物线开口向下；
b与对称轴有关：对称轴为；
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．

典型例题


【例2】（2020•广东7/25）把函数y=(x-1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=(x-1)2+1 C．y=(x-2)2+2 D．y=(x-1)2+3
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】先求出y=(x-1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：二次函数y=(x-1)2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y=(x-2)2+2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
【例3】（2020•呼和浩特7/24）关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a=-5
B．当x=12时，y有最小值a-9
C．x=2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【考点】二次函数的最值；二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D．
【解答】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x=12 时，y有最小值a-9，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-(a-9)=25，即x=2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、，当a＜0时，9-a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系．
【例4】（2019•呼和浩特3/25）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
知识点3：二次函数的最值



知识点梳理


二次函数的最值：
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．
（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大= ax12+bx1+c ，当x=x2时，y最小= ax22+bx2+c ．
典型例题


【例5】（2020•安徽22/23）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数的最值
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y=x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y=-x2+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出，由抛物线y=-x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出，从而得出q的最大值．
【解答】解：（1）点B是在直线y=x+m上，理由如下：
∵直线y=x+m经过点A（1，2），
∴2= 1+m，解得m=1，
∴直线为y=x+1，
把x=2代入y=x+1得y=3，
∴点B（2，3）在直线y=x+m上；
（2）∵直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y=ax2+bx+1得，
解得a=-1，b=2；
（3）由（2）知，抛物线为y=-x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y=-x2+px+q，其顶点坐标为（，），
∵顶点仍在直线y=x+1上，
∴，
∴，
∵抛物线y=-x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴，
∴当p=1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
知识点4： 二次函数与方程、不等式的关系？



知识点梳理


1.二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．
当>0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当<0时，图象与x轴没有交点．
①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有 实数根．
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数
判别式b2-4ac的符号
方程ax2+bx+c=0的实数根个数
2个
b2-4ac>0
两个不相等的实数根 
1个
b2-4ac=0
两个 相等 的实数根 
没有
b2-4ac<0
  没有 实数根
2.二次函数与不等式的关系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
典型例题

【例6】（2020•呼和浩特6/24）已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为（ ）
A．0 B．-1 C． D．
【考点】二次函数的性质；根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果．
【解答】解：∵二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x =0，即y轴，
则，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0为-4x2+1=0，
则两根之积为，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
【例7】（2019•呼和浩特16/25）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是　 　．
【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3，
∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
∴＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0，
∴﹣6＜b＜6.
故答案为﹣6＜b＜6.
知识点5： 二次函数的实际应用



知识点梳理


二次函数的应用问题求解思路：
建立 二次函数 模型→求出二次函数 解析式 →结合函数解析式、函数性质做出解答．
典型例题

【例8】（2020••兴安盟•呼伦贝尔25/26）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）根据题意一个月能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，可得y=500-10(x-50)，再利用一个月的销售量×每件销售利润=一个月的销售利润列出一个月的销售利润为w，写出w与x的函数关系式；
（2）令w=8000，求出x的取值即可；
（3）根据二次函数最值的求法求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y=500-10(x-50)=1000-10x，
w=(x-40)(1000-10x)=-10x2+1400x-40000；
（2）由题意得：-10x2+1400x-40000=8000，
解得：x1=60，x2=80，
当x=60时，成本=40×[500-10(60-50)]=16000＞10000不符合要求，舍去，
当x=80时，成本=40×[500-10(80-50)]=8000＜10000符合要求，
∴销售价应定为每件80元；
（3）w=-10x2+1400x-40000，
当x=70时，w取最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键．
巩固训练

1.（2020•宁夏10/26）若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
2.（2020•广东10/25）如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
①；②；③；④，
正确的有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3.（2020•赤峰14/26）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
4.（2020•上海12/25）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
5.（2019·河南省8/23）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
6.（2019•赤峰18/26）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

7.（2020•安徽10/23）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将△ABC在直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为　　

A． B．
C． D．
8.（2020•陕西10/25）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9.（2020•宁夏26/26）如图（1）放置两个全等的含有角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动（点与点重合时移动终止），移动过程中始终保持点、、、在同一条直线上，如图（2），与、分别交于点、，与交于点，其中，设三角板移动时间为秒．

（1）在移动过程中，试用含的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
10.（2020•通辽17/26）如图①，在△ABC中，，，点是边的中点，点是边上一动点，设，．图②是关于的函数图象，其中是图象上的最低点．那么的值为　7　．

11.（2020•通辽26/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

12.（2020•青海28/28）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积．（请在图1中探索）
（3）设点在轴上，点在抛物线上．要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．（请在图2中探索）

13.（2020•包头19/26）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 ．
14.（2020•吉林26/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点，是直线上的一点，其纵坐标为．以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

15.（2020•天津12/25）已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
16.（2020•天津24/25）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点在边上（点不与点，重合）．
（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点为，设．
①如图②，若折叠后△与△OAB重叠部分为四边形，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
②若折叠后△与△OAB重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

17.（2020•天津25/25）已知点是抛物线，，为常数，，与轴的一个交点．
（Ⅰ）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
18.（2020•陕西24/25）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．

19.（2020•江西22/23）已知抛物线，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：




0
1
2




0




（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为　　；
（2）求抛物线的表达式及，的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系　　．

20.（2020•江西6/23）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为　　
A． B． C． D．
21.（2020•河北15/26）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是　　

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
22.（2020•鄂尔多斯22/24）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
23.（2020•山西9/23）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为　　
A． B． C． D．
24.（2020•河北23/26）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．
①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围

25.（2019•包头23/26）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
26.（2019•鄂尔多斯22/24）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
27.（2019·通辽24/26）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
巩固训练解析

1.（2020•宁夏10/26）若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　　．
【考点】抛物线与轴的交点
【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，可知判别式，列出不等式并解之即可求出的取值范围．
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
2.（2020•广东10/25）如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
①；②；③；④，
正确的有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故①错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故②正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故③正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故④正确；
结论正确的是②③④3个，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
3.（2020•赤峰14/26）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．有
【答案】A
【分析】由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，

由题意可得BP＝AQ＝x，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，
∵sin∠BAC＝，
∴HQ＝AQ•sin60°＝x，
∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；
当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，

由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，
∵sin∠ACD＝＝，
∴NQ＝（x﹣2），
∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，
∴该图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴在2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值为，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
4.（2020•上海12/25）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【解答】解：抛物线向上平移3个单位得到．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5.（2019·河南省8/23）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】B．
【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解.
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选： B．
6.（2019•赤峰18/26）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

【答案】②③④．
【分析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），则有b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0）；
①由a＞0，得b＜0；
②当x＝﹣1时，y＝0，则有a﹣b+c＝0；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
7.（2020•安徽10/23）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将△ABC在直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为　　

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得与的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】解：如图1所示：当时，过点作于．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
，
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图2所示：时，过点作于．

，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
8.（2020•陕西10/25）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解答】解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
9.（2020•宁夏26/26）如图（1）放置两个全等的含有角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动（点与点重合时移动终止），移动过程中始终保持点、、、在同一条直线上，如图（2），与、分别交于点、，与交于点，其中，设三角板移动时间为秒．

（1）在移动过程中，试用含的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的性质；二次函数的最值
【分析】（1）解直角三角形求得，由题意可知，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中，
，
，
，
∴△AMQ为等边三角形，
过点作，垂足为点．

在Rt△ABC中，，
，
根据题意可知，
，
，
，
而，
，
（2）由（1）知，




，
所以当时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
10.（2020•通辽17/26）如图①，在△ABC中，，，点是边的中点，点是边上一动点，设，．图②是关于的函数图象，其中是图象上的最低点．那么的值为　7　．

【考点】动点问题的函数图象
【分析】点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，进而求解．
【解答】解：如图，将△ABC沿折叠得到△，则四边形为菱形，菱形的对角线交于点，

由图②知，当点与点重合时，
，解得：，即：菱形的边长为，
则该菱形的高为，
点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，
，，
则，故△为等边三角形，
是的中点，故，
而AB∥，故为直角，，
则，
此时，（菱形的高），
则．
故答案为7．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
11.（2020•通辽26/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△的面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，，由三角形的面积公式求得△的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
（3）分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
【解答】解：（1）令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）设，则，，
则，
∴△的面积，
，
当时，△的面积最大，
此时，点的坐标为；

（3）由（2）知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或．
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
12.（2020•青海28/28）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积．（请在图1中探索）
（3）设点在轴上，点在抛物线上．要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．（请在图2中探索）

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点、坐标及抛物线顶点的坐标，再将四边形的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；
（3）分两种情况：为平行四边形的边；为平行四边形的对角线．分别解答便可．
【解答】解：（1）把和代入抛物线的解析式得，
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）令，得，
，
令，得，
解得，，或，
，
，
，


；

（3）设，
①当为平行四边形的边时，有，，
．点在点左边时，则，
把代入，得
，
；
②当为平行四边形的边时，有，，
当点在点右边时，则，
把代入，得
，
；
③当为平行四边形的对角线时，如图2，与交于点，
则，
，
，
把代入，得
，
，
．

综上，满足条件的点坐标为：或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，四边形的面积计算，平行四边形的性质，第（2）题关键是把四边形分割成三角形进行解答，第（3）题关键是分情况讨论．
13.（2020•包头19/26）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　4　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14.（2020•吉林26/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点，是直线上的一点，其纵坐标为．以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点与点的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据，构建方程求解即可．
（3）当点在直线的左边，点在点是下方下方时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则有，解得，观察图象可知．当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图中．当时，点在点的上方，也满足条件，如图中．
【解答】解：（1）把点代入，得到，
解得．
（2）抛物线的解析式为，
，
，重合，
，
解得或4．
（3）由题意，且抛物线的顶点在该正方形内部，
且，得
解得或（不合题意舍弃），
．
（4）当点在直线的左边，点在点下方时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则有，
，
解得，
观察图象可知．当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图中，

当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意，
当时，点在点的上方，也满足条件，如图中，

综上所述，满足条件的的值为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
15.（2020•天津12/25）已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式；抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系
【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，判断，与0的关系，得到，即可判断①；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断②；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断③．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
，
抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，故①错误；
抛物线开口向下，与轴有两个交点，
顶点在轴的上方，
，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不等的实数根；故②正确；
抛物线经过点，
，
，
，即，
，
，
，
，故③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
16.（2020•天津24/25）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点在边上（点不与点，重合）．
（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点为，设．
①如图②，若折叠后△与△OAB重叠部分为四边形，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
②若折叠后△与△OAB重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【考点】四边形综合题
【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，即可．
（Ⅱ）①解直角三角形求出，即可．
②求出点落在上时，．当时，重叠部分是四边形，，当时，有最大值，最大值．再求出当或3时，的值即可判断．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点作于．

，，
，
，
，
，，
，．
（Ⅱ）①如图②中，

由折叠可知，△≌△OAB，
，，
，
，
四边形是菱形，
∥OB，
，
，
，，
在Rt△AQD中，，
，
．
②当点落在上时，重叠部分是△，此时，，
当时，重叠部分是四边形，，
当时，有最大值，最大值，
当时，，当时，，
综上所述，．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
17.（2020•天津25/25）已知点是抛物线，，为常数，，与轴的一个交点．
（Ⅰ）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
【考点】二次函数综合题
【分析】（Ⅰ）将代入抛物线的解析式求出，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出，．求出抛物线的解析式为．则点，点，过点作于点，由点，得点．根据题意求出的值，可求出的长，则可得出答案；
②得出．求出，当，即时，当，即时，根据的最小值可分别求出的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）①抛物线经过点和，，
，，即．
，．
抛物线的解析式为．
根据题意得，点，点，
过点作于点，由点，得点．

在Rt△EAH中，，，
，
，
，
解得．
此时，点，点，有．
点在轴上，
在Rt△EFC中，．
点的坐标为或．
②由是的中点，连接，，得．
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上，
由点，点，得，，
在Rt△MCO中，．
当，即时，满足条件的点在线段上．
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，
解得．
当的值为或时，的最小值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.（2020•陕西24/25）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点和代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：时，以、、为顶点的三角形与△全等，分点在抛物线对称轴右侧、点在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点和代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；
（2）抛物线的对称轴为，令，则或1，令，则，
故点、的坐标分别为、；点，
故，
，
当时，以、、为顶点的三角形与△全等，
设点，当点在抛物线对称轴右侧时，，解得：，
故，故点，
故点或；
当点在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点，此时点坐标同上，
综上，点的坐标为或；点的坐标为或．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．
19.（2020•江西22/23）已知抛物线，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：




0
1
2




0




（1）根据以上信息，可知抛物线开口向　上　，对称轴为　　；
（2）求抛物线的表达式及，的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系　　．

【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）观察表格中的数据，得到和时，值相等都为，且其他的值比大，可得出抛物线开口方向及对称轴；
（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出，，的值确定出解析式，进而求出与的值即可；
（3）画出抛物线图象，确定出点运动的轨迹即可；
（4）根据（3）中图象可得答案．
【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线；
故答案为：上，直线；
（2）把，，代入，得：
，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，；
当时，；
（3）画出抛物线图象，如图1所示，描出的轨迹，是一条抛物线，如备用图所示，

（4）根据题意及（3）中图象可得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
20.（2020•江西6/23）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为　　
A． B． C． D．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；抛物线与轴的交点；二次函数的性质；坐标与图形变化平移；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】求得、的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出，则，把代入抛物线解析式求得，即可求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的表达式．
【解答】解：如图，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，
令，解得或3，
令，求得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
的横坐标为1，
设，则，
点落在抛物线上，
，解得，
，，
设直线的表达式为，
，
解得
直线的表达式为，
故选：B．

【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，坐标和图形变换平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出、的坐标是解题的关键．
21.（2020•河北15/26）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是　　

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】求出抛物线的顶点坐标为，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴在抛物线上的点的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
22.（2020•鄂尔多斯22/24）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
23.（2020•山西9/23）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数的应用
【分析】根据题意，可以得到与的函数关系式，然后化为顶点式，即可得到的最大值，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故当时，取得最大值，此时，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24.（2020•河北23/26）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．
①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围

【考点】二次函数的应用
【分析】（1）由木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，可设．将时，代入，求出，即可得出与的函数关系式；
（2）①设薄板的厚度为厘米，则厚板的厚度为厘米，将（1）中所求的解析式代入，化简即可得到与的函数关系式；
②根据是的3倍，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设．
当时，，
，解得，
与的函数关系式为；
（2）①设薄板的厚度为厘米，则厚板的厚度为厘米，
，
即与的函数关系式为；
②是的3倍，
，
整理得，，
解得，，（不合题意舍去），
故为2时，是的3倍．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出与的函数关系式是解题的关键．
25.（2019•包头23/26）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，
根据题意得，，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的根，
∴1500÷（20﹣10）＝150（元），
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，
根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），
∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，
∵﹣＜0，
∴当a＝100时，W有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
26.（2019•鄂尔多斯22/24）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
【解答】解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元，由题意得：
，解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，
当x＝15时，x+105＝120，
答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．
（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：
y+x+2y＝65，
∴y＝﹣x+
答：y与x之间的函数关系式为∴y＝﹣x+．
（3）由题意得：
W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y，
又∵y＝﹣x+
∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（﹣x+）＝﹣2x2+100x+1950，
∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当x＝26时，W最大＝﹣2×262+100×26+1950＝2198元．
此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
27.（2019·通辽24/26）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+a，若0＜a＜6，则30＜35+a，则当x＝35+a时，w取得最大值，解方程得到a1＝2，a2＝58，于是得到a＝2．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．
w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）
对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a≤38，
则当x＝35+a时，w取得最大值，
∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10（35+a）+500]＝1960
∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），
∴a＝2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．