2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末练习试卷（word版 含答案）

这是一份2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末练习试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了已知点A，把抛物线y＝3等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年鲁教五四新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
2．四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四种汽车标志，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．1
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　）

A．45° B．36° C．35° D．30°
4．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　）

A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
6．把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线y＝3x2，则n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．36° B．45° C．54° D．72°
8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（　　）

A． B．2 C．3 D．4
9．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0；⑤9a﹣3b+c＜0．其中正确的有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共8小题，满分28分）
11．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为 　 　．
12．△ABC中，若（sinA﹣）2+|﹣cosB|＝0，则∠C＝　 　．
13．二次函数y＝2x2+4x+（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为　 　．
14．函数y＝自变量x的取值范围是　 　．
15．如图，已知圆锥底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 　 　．

16．若函数y＝与y＝﹣2x﹣4的图象的交点坐标为（a，b），则的值是　 　．
17．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　 　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

18．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 　 　．

三．解答题（共7小题，满分62分）
19．（7分）计算：．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．

21．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为　 　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．
（1）证明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．

23．（9分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数y1＝在第一象限内的图象与直线y2＝x交于点D，且反比例函数y1＝交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）若矩形的面积是24，求出△CDE的面积．
（3）直接写出当x＞4时，y1的取值范围 　 　．

24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

25．（12分）操作作图
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．
阅读理解
我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．
深入探究
（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；
（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数y＝的关系式得，
y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
2．解：∵四种汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有1个，
∴既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为；
故选：B．
3．解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．

4．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
5．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，
故选：C．
6．解：把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到：y＝3（x+1﹣1）2﹣2+n，即y＝3x2﹣2+n，
由题意可知﹣2+n＝0，
∴n＝2，
故选：B．
7．解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
8．解：连接OB，如图所示：

∵OB是矩形OABC的对角线，
∴S△OAB＝S△OBC
又∵点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
又∵CD＝BD，OC是△OCD和△OBD的高，
∴S△OCD＝S△OAB＝1，
又∵S△OBC＝S△OCD+S△OBD，
∴S△OAB＝S△OBC＝2
又∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE，
∴S△OBE＝2﹣1＝1，
又∵S四边形OEBD＝S△ODE+S△OBE，
∴S四边形OEBD＝1+1＝2，
故选：B．
9．解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣＝＝6（s），
故选：D．
10．解：抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴﹣＜﹣1，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，故④结论错误；
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①结论错误；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②结论错误；
当x＝1时，a+b+c＞0，故③结论正确；
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，故⑤结论正确．
故正确的为③⑤，共2个．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分28分）
11．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，
∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），
故答案为（﹣1，8）．
12．解：∵（sinA﹣）2+|﹣cosB|＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
13．解：∵若二次函数y＝2x2+4x+（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m+56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
14．解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5
15．解：设∠ABC＝n°，
∴底面圆的周长等于：2π×2＝，
解得：n＝120°；
连接AC，过B作BD⊥AC于D，
则∠ABD＝60°．
∵AB＝6，
∴BD＝3，
∴AD＝3×＝9，
∴AC＝2AD＝18，
即这根绳子的最短长度是18．
故答案为：18．

16．解：联立两个函数表达式得，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴y＝﹣2，
交点坐标是（﹣1，﹣2），
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
则＝﹣1﹣1＝﹣2．
故答案为﹣2．
17．解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝10m，
∴sin70°＝，
解得：AO＝9.4（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝10m，
∴sin50°＝≈0.77，
解得：CO＝7.7（m），
则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），
答：AC的长度约为1.70米．
故答案为：1.70．
18．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝4﹣2m，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．
∴CD＝2m＝﹣2+2．
故答案为：﹣2+2．
三．解答题（共7小题，满分62分）
19．解：原式＝2+﹣1﹣2×
＝2+3﹣1﹣
＝+2．
20．解：如图，作CD⊥AB于点D．

∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan30°＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝•AB•CD＝•（3+）•3＝9+3，
∴△ABC的面积是9+3．
21．解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：

（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
22．（1）证明：如图1，连接OD．

∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，

∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，
∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，
∴EK＝OD＝3，
∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AC＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝＝4，
答：BC的长为4．
23．解：（1）根据题意得：点D的纵坐标为3，
把y＝3代入y2＝x得： x＝3，
解得：x＝4，
即点D的坐标为：（4，3），
把点D（4，3）代入y1＝得：3＝，
解得：k＝12，
即反比例函数的关系式为：y2＝，
（2）设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：3m＝24，
解得：m＝8，
即点B，点C的横坐标为：4+8＝12，
把x＝12代入y2＝得：y＝1，
∴点E的坐标为：（12，1），
∴CE＝3﹣1＝2，
∴S△CDE＝CE×CD＝＝8；
（3）观察图象，当x＞4时，y1的取值范围是0＜y1＜3，
故答案为0＜y1＜3．
24．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，

又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC＝＝3，同理AC＝，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；

（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），
综上，m＝5或m＝4或或3．
25．解：操作作图：
如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．

阅读理解：
符合条件的图形如图所示：

∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，
∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．
∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．
∴CG＝MG．
∵DG∥AB，
∴∠DGC＝∠B．
∴△DCG≌△DMB（AAS）．
∴CG＝BM．
∴．
∵△DCG∽△ACB，
∴．
即，
∴DC＝2．
深入探究：
（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．

在Rt△ABC中，．
∵四边形DEFG为菱形，
∵DG∥AB，
∴，
即．
解得DC＝．
如图，当DE⊥AB时，
过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．

在Rt△ABC中，
．
∵DG∥AB，
∴△ABC∽△DGC．
∴．
即，
∴．
∴．
即，
∴．
∴当＜CD≤时，可作2个AB类内接菱形DEFG．
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．
∵四边形DEFG为菱形，

设DG＝x，
∵DG∥AB，
∴△ABC∽△DGC．
∴．
即，
∴CQ＝．
则QH＝．
∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．
配方得．
当点F与点B重合时，
可求得DG＝，
由（1）可知：
．
在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，
∴当x＝时，S菱形DEFG最大，
最大值为．
∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．