专题15.12 分式方程（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.12  分式方程（知识讲解）

 【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．

2. 会列出分式方程解简单的应用问题．

【要点梳理】

 要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

特别指出：

（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.

分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

特别指出：

（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的

两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方

程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根

就是原方程的增根.

（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是

否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进

行的.

要点四、分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题.

列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；

（2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

（4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根；

（6）写出答案.

【典型例题】

类型一、判别分式方程 

1、 在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有__________．

【答案】3

【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可．

解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程；
方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；

故答案为：3．

【点拨】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．

举一反三：

【变式】 下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 （________）（填序号）

【答案】②

    【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。

【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.

【点拨】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.

类型二、解分式方程 

2、  解下列分式方程：

（1）＝1               （2）

【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3．

【分析】

（1）去分母得：x（x+2）4=（x+2）（x2），解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解；

（2）去分母得：x（x+2）=3，整理得x2+2x3=0，解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．

解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），

约去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x﹣2），

解之得：x＝0，

检验：当x＝0时，（x+2）（x﹣2）≠0，

∴x＝0是原方程的解，

∴原分式方程的解为：x＝0；

（2）方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），

约去分母得：x（x+2）＝3，

整理得x2+2x﹣3＝0，

解之得x1＝1，x2＝﹣3，

检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，

∴x＝1不是原方程的解；

当x＝﹣3时，（x﹣1）（x+2）≠0，

∴x＝﹣3是原方程的解；

∴原分式方程的解为：x＝﹣3．

【点拨】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

举一反三：

【变式】 解分式方程：．

【答案】无解

【解析】此题应先将原分式方程两边同时乘以最简公分母，则原分式方程可化为整式方程，解出即可．

试题解析：两边同时乘得，

整理得

经检验：是增根，舍去，

所以原方程无解．

类型三、分式方程的增根和无解

3、 已知关于的分式方程．

（1）若，解此分式方程；

（2）若解得方程有增根，且增根为，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）把m=1代入方程，求出方程的解并检验即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；

解：当时，该分式方程为，

方程两边同时乘以

去分母并整理得，

解得，

经检验，当时，，

故是原方程的解；

方程两边同时乘以，

去分母并整理得，

当时，，

解得

【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

举一反三：

【变式】  已知关于x的分式方程，

(1)若方程的增根为x=1，求m的值

(2)若方程有增根，求m的值

(3)若方程无解，求m的值．

【答案】（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5

【解析】 方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；

（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；

（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；

（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.

试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得

2（x+2）+mx=x-1，

整理得（m+1）x=﹣5，

（1）∵x=1是分式方程的增根，

∴1+m=﹣5，

解得：m=﹣6；

（2）∵原分式方程有增根，

∴（x+2）（x﹣1）=0，

解得：x=﹣2或x=1，

当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；

（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；

当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，

综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．

【点拨】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.

类型四、分式方程的应用

4、 列分式方程解应用题：

刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？

刘峰：我查好地图，你看看

李明：好的，我家门口的公交车站，正好又一趟到野生动物园那站的车，我坐明天8:30的车

刘峰：从地图上看，我家到野生动物园的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了

李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8:00从家出发，如果顺利，咱俩同时到达

【答案】刘峰骑自行车每小时行千米，李明乘公交车每小时行千米

【分析】

设刘峰骑自行车每小时行千米，则李明乘公交车每小时行千米，根据他们的行驶时间相差30分钟列出分式方程并解答，注意分式方程的结果要检验．

 解：设刘峰骑自行车每小时行千米，则李明乘公交车每小时行千米，

根据题意列方程得：

    即

解这个方程得

检验：当时，

所以，是原分式方程的解，当时，

答：刘峰骑自行车每小时行千米，则李明乘公交车每小时行千米

【点拨】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．

举一反三：

【变式】 小强家距学校3000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸骑电瓶车送他去学校．已知小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，且小强爸骑电瓶车的平均速度是小强步行的平均速度的5倍，小强到家取课本与小强爸启动电瓶车等共用4分钟．

（1）求小强步行的平均速度与小强爸骑电瓶车的平均速度；

（2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由．

【答案】（1）小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟；（2）小强不能按时到校，将会迟到，理由见解析

【分析】

（1）设小强步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，据此列方程求解；

（2）计算出小强从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可．

解：（1）设小强步行的平均速度为米/分钟，则小强爸骑电瓶车的平均速度为米/分钟，根据题意得：

，

解得，

经检验，是分式方程的解，且符合题意，

∴，

即小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟；

（2）由（1）得，小强半途步行返家所需时间为分钟，

小强爸骑电瓶车送小强到学校所需时间为分钟，

所以，从小强半途步行返家到小强爸骑电瓶车送他到学校共用时间为 分钟分钟，

故小强不能按时到校，将会迟到．

【点拨】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．