黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022届高三上学期期末考试数学（理）含答案

2021—2022学年度第一学期期末考试

高三理科数学试卷

考试时间：120分钟   分值：150分   

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、        选择题：（本题共12小题，每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的,把正确答案填涂在答题卡上）

1．若集合，且，则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数（为虚数单位）给出下列命题：①；②；③的虚部为．其中正确命题的个数是（    ）

A． B． C．2 D．3

3．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列，设的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

5．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（　　）

　 A． 若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ   B． 若α⊥β，l∥β，则l⊥α

　 C． 若则m⊥α，n⊥α，m∥n          D． 若m∥α，n∥α，则m∥n

6．已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为(     )

 A．1﹣1，1] B．1﹣2，2] C． D．

7．（    ）

A． B． C． D．

8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分

别是，，，绘制该四面体三

视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（  ）

A． B． C． D．

9．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（    ）

A． B．

C． D．

10．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（    ）

A．2 B． C．5 D．

11．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数（是以为底的自然对数，），若存在实数，，满足，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

    Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二. 填空题 (本大题共4小题，每小题5分．)

13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（  ）

14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______．

15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线的焦点，则点F到双曲线的渐近线的距离为          ．

16．已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且，是抛物线上的一点，垂直于点，且，分别交，于点，，则______．

三．解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知函数部分图象如图所示．

（1）求值及图中的值；

（2）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求的值．

18．（12分）设正项等比数列，，且，的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．

20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程．

21．（12分）已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点，且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．

（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与曲线相交于，两点，若，求的值．

23．（10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（1）解不等式：；

（2）若，，且，求证：．

高三年级第5次月考数学答案（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，且，则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴，∵集合，∴选项A满足要求．故选A．

2．已知复数（为虚数单位）给出下列命题：①；②；③的虚部为．其中正确命题的个数是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【解析】∵复数，∴，，的虚部为，则①②正确，③错误．故选C．

3．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，且，∴，

∴．故选B．

4．已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列，设的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为．∵，，成等比数列，

∴，即，

∴，解得．

∴．故选A．

5．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（　　）

　 A． 若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ   B． 若α⊥β，l∥β，则l⊥α

　 C． 若则m⊥α，n⊥α，m∥n          D． 若m∥α，n∥α，则m∥n

【答案】C

【解析】对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；

对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B 错误；

对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；

对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；

故选C．

6．已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为(     )

 A．1﹣1，1] B．1﹣2，2] C． D．

【答案】D

由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CP=4．

∵圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，

∴圆心到直线的距离d=≤4，

∴0≤m≤.

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】．故选A．

8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】满足条件的四面体如图：

依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如图．

故选B．

9．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】∵上任一点处切线斜率为，

∴，∴函数，

则该函数为奇函数，且当时，．故选D．

10．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】A

【解析】

平行四边形中，，，，点在边上，

，，，

以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，

，，，设，

则，，，

，设，

因为，所以当时，有最大值，故选A．

11．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵等比数列的首项为，公比为，∴，

∴．

①当为奇数时，随着的增大而减小，则，故；

②当为偶数时，随着的增大而增大，则，故．

∴的最大值与最小值的比值为．故选B．

12．已知函数（是以为底的自然对数，），若存在实数，，满足，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】根据题意，作出函数的图象如图所示：

∵存在实数，，满足，

∴根据函数图象可得，．

∴，即．∴，

令，，则．

当时，，即在上为减函数；

当时，，即在上为增函数．

∴，∵，

∴，∴的取值范围为．

故选C．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（  ）

14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______．

【答案】63

【解析】∵，，，，∴按照以上规律，可得．故填．

15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为　   ．

【答案】

【解析】抛物线x2=8y的焦点F（0，2），

双曲线的渐近线方程为y=±3x，

则F到双曲线的渐近线的距离为

d==．

故答案为：．

16．已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且，是抛物线上的一点，垂直于点，且，分别交，于点，，则______．

【答案】

【解析】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，如图所示：

∵点在轴负半轴且，是抛物线上的一点，垂直于点，且，

∴，，，

∴，，

∴，，，即．

∵准线为线段的垂直平分线，∴，则．故答案为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数部分图象如图所示．

（1）求值及图中的值；

（2）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由图象可以知道：．∴，

又∵，∴，

∵，∴，，，

从而，．

由图象可以知道，所以．

（2）由，得，且．∴，

∵，

∴由正弦定理得，

又∵由余弦定理得：，

∴解得．

18．（12分）设正项等比数列，，且，的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等比数列的公比为，

由题意，得，········3分

解得，········5分

所以．········6分

（2）由（1）得，········7分

，········9分

∴，········10分

∴．········12分

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：，，

，

平面，平面，

，

，

平面，

平面，

平面平面．

（2）解:以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由点向作垂线，则，

∴，

∴，，，，

设．

∵在棱上，

∴（），

∴，

设平面的法向量，

∴，，，取，则，

则．

设平面的法向量，

∴，，，取，

则，．

∴，∴，

解得．∴，，

易知平面的法向量，

所以与平面所成角的正弦值．

20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）最小值，直线的方程为．

【解析】（1）由的面积可得，即，∴．①

又椭圆过点，∴．②

由①②解得，，故椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，

由弦长公式可得．

将代入椭圆方程，得，

由判别式，解得．

由直线和圆相交的条件可得，即，也即，

综上可得的取值范围是．

设，，则，，

由弦长公式，得．

由，得．

∵，∴，则当时，取得最小值，

此时直线的方程为．

21．（12分）已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点，且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

【答案】（1）；（2）不是的根．

【解析】（1）∵，∴，

由已知得，，．

∴，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在处取得极小值，符合题意，故．

（2）由（1）知函数．

∵函数图象与轴交于，两个不同点，

∴，，两式相减整理得：．

∵，

∴

令，即．

∵，∴，

令，∵，

∴，

∴，

设，则．

∵，∴，

∴在上是增函数，

∴，

∴无解，即．

∴不是的根．

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．

（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与曲线相交于，两点，若，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】

（1）将（为参数）消去参数可得，

∴直线的普通方程为．

由，得，

将，，代入上式，得，

即，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）将代入中，

整理得，

设，两点对应参数分别为，，

则，，

∵，

∴，又，

∴，

∴，

∴，即，

解得，符合题意．

∴．

23．（10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（1）解不等式：；

（2）若，，且，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）由题意，原不等式等价为，

令，

所以不等式的解集是．

（2）要证，只需证，

只需证，

而，

从而原不等式成立．