专题14.15 完全平方公式（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题14.15 完全平方公式（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共24页。试卷主要包含了运用完全平方公式进行运算，运用完全平方公式变形求值， 完全平方公式中的参数，完全平方公式在几何图形中的应用，整式的混合运算等内容，欢迎下载使用。

专题14.15 完全平方公式（专项练习）
一、 单选题
知识点一、运用完全平方公式进行运算
1．运用乘法公式计算（x+3）2的结果是( )
A．x2+9 B．x2–6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9
2．设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A等于（ ）
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
3．选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
4．下列各式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
知识点二、运用完全平方公式变形求值
5．已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（　　）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
6．若，则的值为（ ）
A．12 B．2 C．3 D．0
7．已知，则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．
8．若，，则的值为（）
A．40 B．36 C．32 D．30
知识点三、 完全平方公式中的参数
9．若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4
C．±4 D．以上结果都不对
10．若25a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．±30 B．31或﹣29 C．32或﹣28 D．33或﹣27
11．若x2+8x+m是完全平方式，则m的值为( )
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
12．若是一个完全平方式，则k的值为　　
A．48 B．24 C． D．
知识点四、完全平方公式在几何图形中的应用
13．已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
14．如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别是边长为a(cm)、b(cm)的正方形，丙是长为b(cm)，宽为a(cm)的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、1张、4张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为(　　)

A．(a+2b)cm B．(a﹣2b)cm C．(2a+b)cm D．(2a﹣b)cm
15．如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）

A． B．
C． D．
16．小颖用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1、S2之间的数量关系为（ ）

A． B． C． D．
知识点五、整式的混合运算
17．下列运算正确的是（ ）
A． B． C．D．
18．计算：(a-b＋3)(a＋b-3)=( )
A．a2＋b2-9 B．a2-b2-6b-9
C．a2-b2＋6b－9 D．a2＋b2-2ab＋6a＋6b＋9
19．已知a2+a﹣4=0，那么代数式：a2（a+5）的值是（ )
A．4 B．8 C．12 D．16
20．代数式（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）的结果为（　　）
A．0 B．4m C．﹣4m D．2m4

二、 填空题
知识点一、运用完全平方公式进行运算
21．计算：(a-2b+c)2=________．
22．若m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2的值是___．
23．计算的结果等于_____．
24．若，满足，，则______．
知识点二、运用完全平方公式变形求值
25．若m+=3，则m2+=_____．
26．已知，，则=_____________．
27．已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______.
28．已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
知识点三、 完全平方公式中的参数
29．若是关于的完全平方式，则__________．
30．若x2+ax+4是完全平方式，则a=_____．
31．若代数式可化为，则的值是________．
32．如果，且，则的值是 ____ ．
知识点四、完全平方公式在几何图形中的应用
33．有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a>2b）,按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD.
下面有四种说法：
①阴影部分周长为4a;
②阴影部分面积为（a+2b）（a-2b）;
③四边形ABCD周长为8a-4b;
④四边形ABCD的面积为a2-4ab+4b2.
所有合理说法的序号是____.

34．如图，A、B表示两张大小不同的正方形卡片，若用1张A和2张B分别不重叠地铺在长方形和正方形盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影部分表示，若图乙中阴影部分的面积是图甲中阴影部分面积的3倍，则A卡片的边长是B卡片边长的_______倍，图乙正方形盒底面积是图甲长方形盒底面积的 _________倍．

35．装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长分米，宽为分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是分米，则画心外阴影部分面积是_________平方分米，并求当，时的阴影部分面积是_________平方米．

36．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____．

知识点五、整式的混合运算
37．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为_____．
38．计算：（a+1）2﹣a2=_____．
39．若，则的值为__________．
40．若规定，则当时，__________．

三、 解答题
知识点一、运用完全平方公式进行运算
41．化简
（1）； （2）；
（3）； （4）．
知识点二、运用完全平方公式变形求值
42．阅读理解.
因为， ①
因为 ②
所以由①得： ， 由②得：
所以
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知，则下列等式成立的是（ ）
①； ②； ③； ④；
A．①； B．①②； C．①②③； D．①②③④；
（2）已知，求下列代数式的值：
①； ②；③.



知识点三、 完全平方公式中的参数
43．已知多项式，多项式．
（1）若多项式是完全平方式，则 ．
（2）已知时，多项式的值为，则时，多项式的值为多少？
（3）在第（2）问的条件下，求的值．






知识点四、整式的混合运算
44． 计算:(1)·8÷(－15x2y2) (2)




(3) (4)(3ab+4)2－(3ab－4)2

参考答案
1．C
【详解】
试题分析：运用完全平方公式可得（x＋3）2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．故答案选C
考点：完全平方公式.
2．A
【分析】
根据完全平方公式的展开法则，将等号两边去掉括号，即可得出A．
【详解】
∵(5a+3b)2=(5a-3b)2+A
∴25a2+30ab+9b2=25a2-30ab+9b2+A
∴A=60ab
故选：A
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，(a±b)2=a2±2ab+b2，两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们的的积的2倍．
3．B
【分析】
直接利用平方差公式计算得出答案．
【详解】
选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．
故选B．
【点拨】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键．
4．C
【分析】
根据完全平分公式、平方差公式，即可解答．
【详解】
解：A、(x+y)2= x2+2xy+y2≠x2+y2，故错误；
B、（x+6）（x-6）=x2-36，故错误；
C、（x-y）2=x2-2xy+y2，（y-x）2=y2-2xy+x2，正确；
D、（3x-y）（-3x+y）=-（3x-y）（3x-y）=-（3x-y）2=-9x2+6xy-y2，故错误；
故选C．
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式、平方差公式．
5．C
【详解】
解：∵x+y＝﹣5，xy＝3，
∴
=25-2×3=19.
故选C
6．A
【分析】
先根据得出，然后利用提公因式法和完全平方公式对进行变形，然后整体代入即可求值．
【详解】
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题主要考查整体代入法求代数式的值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．
7．C
【解析】
分析：本题只要根据即可得出答案．
详解：，故选C．
点睛：本题考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．，，，本题只要明确这些即可得出答案．
8．C
【分析】
根据a+b=6，ab=4，应用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值为多少即可．
【详解】
解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+ab+b2
=（a+b）2-ab
=36-4
=32
故选：C．
【点拨】此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9．C
【解析】∵（x±2y）2=x2±4xy+4y2，
∴在x2+mxy+4y2中，±4xy=mxy，
∴m=±4．
故选C．
10．D
【解析】
∵25a2＋(k﹣3)a＋9是一个完全平方式，∴k﹣3＝±30，解得：k＝33或﹣27，故选D．
11．C
【分析】
根据乘积项先确定出这两个数是x和4，再根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可
【详解】
∵x2+8x+m是完全平方式，
∴这两个数是x、4，
∴m=42=16．
故选C.
【点拨】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是解题的关键．
12．D
【分析】
这里首末两项是6x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去6x和4的积的2倍，故k±2×4×6=±48.
【详解】
解：∵（6x±4）2=36x2±48x+16，
∴在36x2+kx+16中，k=±48．
故选D.
【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解.
13．B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式把等式进行变形即可求解.
【详解】
∵
∴
则=0，
故a=b=c，的形状等边三角形，故选B.
【点拨】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
14．C
【分析】
根据题意可得4a2+4ab+b2=(2a+b)2，然后根据正方形的面积公式解答即可．
【详解】
解：4张边长为a的正方形纸片的面积是4a2，
4张边长分别为a、b(b＞a)的矩形纸片的面积是4ab，
1张边长为b的正方形纸片的面积是b2，
∵4a2+4ab+b2=(2a+b)2，
∴拼成的正方形的边长为(2a+b)cm．
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于常考题型，根据题意得出4a2+4ab+b2=(2a+b)2是解题的关键．
15．D
【分析】
整体看是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可
【详解】
∵整个图形是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，
∴阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，
∴，
故选D．
【点拨】本题考查了公式与图形的面积，准确运用图形面积之间的关系是解题的关键．
16．B
【分析】
先用a、b的代数式分别表示S1=a2+2b2，S2=2ab-b2，再根据a＝2b，，得和，进而得到答案．
【详解】
解：根据题意，空白部分的面积为：
，
又∵正方形面积为：
，
∴阴影部分面积为：，
又∵a＝2b，
∴，

∴，
故选B．
【点拨】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
17．B
【详解】
试题分析：A．，故本选项错误；
B．，故本选项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误．
故选B．
考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
18．C
【分析】
把所给的整式化为[a－(b-3)][ a＋(b－3)]，先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可.
【详解】
(a－b＋3)(a＋b－3)，
=[a－(b-3)][ a＋(b－3)]，
=a2-(b-3)2，
= a2-b2+6b-9，
故选C.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，正确利用乘法公式是解决本题的关键.
19．D
【分析】
由a2+a﹣4=0，变形得到a2=-（a-4），a2+a=4，先把a2=-（a-4）代入整式得到a2（a+5）=-（a-4）（a+5），利用乘法得到原式=-（a2+a-20），再把a2+a=4代入计算即可．
【详解】
∵a2+a﹣4=0，
∴a2=-（a-4），a2+a=4，
a2（a+5）=-（a-4）（a+5）=-（a2+a-20）=−(4−20)=16，
故选D
【点拨】此题考查整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则是解题关键
20．A
【分析】
根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算．
【详解】
解：（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）
＝（m2﹣4）（m2+4）﹣（m4﹣16）
＝（m4﹣16）﹣（m4﹣16）
＝0．
故选：A．
【点拨】本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式的结构，准确进行计算是本题的解题关键.
21．
【解析】
【分析】
可以将a-2b看作一个整体，将原多项式分为两组，即看作(a-2b)+c的平方，利用完全平方公式将多项式展开；再次利用完全平方公式将(a-2b)2展开，整理即可得到最终的化简结果，
【详解】
(a-2b+c)2
=[(a-2b)+c]2
=(a-2b)2+c2+2c(a-2b)
=a2+(2b)2-4ab+c2+2ac-4bc
=a2+4b2+c2-4ab+2ac-4bc.
故答案为
【点拨】考查完全平方公式，熟练掌握是解题的关键.
22．1
【详解】
∵m=2n+1，即m﹣2n=1，
∴m2﹣4mn+4n2=（m﹣2n）2=1
23．
【分析】
根据完全平方公式即可得出
【详解】
（-）2=（）2-2×+（）2
=3-2+2
=
【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键
24．
【分析】
根据完全平方公式即可求出结论．
【详解】
解：∵，，
∴
=20－2×3
=14
故答案为：14．
【点拨】此题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题关键．
25．7
【详解】
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，
则m2+=7，
故答案为7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
26．28或36．
【详解】
解：∵，∴ab=±2．
①当a+b=8，ab=2时，==﹣2×2=28；
②当a+b=8，ab=﹣2时，==﹣2×（﹣2）=36；
故答案为28或36．
【点拨】本题考查完全平方公式；分类讨论．
27．-13
【解析】
【详解】
∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，
∴a2＋2a＋1+b2－6b＋9＝0，
∴(a+1)2+(b﹣3)2=0，
则a+1=0，b﹣3=0，
即a=﹣1，b=3.
故答案为﹣1；3.
【点拨】本题考查了完全平方公式及其非负性，解此题的关键在于将原式配方成两个完全平方相加等于0，再根据非负数的性质求解即可.
28．
【分析】
根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【详解】
解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝{[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝，
故答案为.
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
29．7或-1
【详解】
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
详解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
30．±4．
【分析】
这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去a和2积的2倍，故a=±4．
【详解】
解：中间一项为加上或减去a和2积的2倍，
故a=±4，
故答案为±4．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
31．5
【解析】
，根据题意得，，解得=3，b=8,那么=5.
32．1
【详解】
因为（x+n）2=x2+2nx+n2，m＞0，所以2n＞0，n2=1，所以n=1.
故答案为1.
33．①②④.
【分析】
①利用平移法即可发现阴影部分的周长=大正方形的周长，计算大正方形的周长即可；

②用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可；
③先证出四边形ABCD是正方形，然后计算出ABCD的边长，即可计算它的周长；
④根据③中的边长求面积即可.
【详解】
解：①如下图所示：利用平移法可发现：阴影部分的周长=大正方形的周长=4a，

故①正确；
②阴影部分的面积=大正方形的面积－四个小正方形的面积= a2-4b2=（a+2b）（a-2b）
故②正确；
③由图可知：AB=a－2b，AD=a－2b，∠BAD=90°
∴四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABCD的周长为：4（a－2b）=4a－8b
故③错误；
④正方形ABCD的面积为：（a－2b）2= a2-4ab+4b2
故④正确.
故答案为：①②④.
【点拨】此题考查的是整式的乘法，掌握数形结合的数学思想、平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键.
34．5
【分析】
设A、B两张正方形卡片的边长分别为，用和分别表示图甲、图乙中阴影部分的长方形的边长，根据题意列式计算即可．
【详解】
设A、B两张正方形卡片的边长分别为，
图甲中阴影部分的长方形的长为，宽为，
图甲中阴影部分的面积为：；
如图，

把图乙中阴影部分分解成长为、宽为和长为、宽为的两个长方形，
∴图乙中阴影部分的面积为：；
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴A卡片的边长是B卡片边长的5倍；
图甲长方形盒底面积为：，
图乙正方形盒底面积是：，
∴图乙正方形盒底面积：图甲长方形盒底面积，
故图乙正方形盒底面积是图甲长方形盒底面积的倍．
【点拨】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案．
35．
【分析】
根据题意可先分别求解出长方形和正方形的面积，再用长方形的面积减去正方形的面积即可得到阴影部分的面积；将给出的条件带入到阴影部分公式中求解即可．
【详解】
由题，整个长方形的面积为平方分米；
中间正方形的面积为平方分米；
∴阴影部分面积为平方分米；
将，代入上述结果得：
平方分米＝平方米；
故答案为：；．
【点拨】本题考查整式乘法在几何图形中的面积问题，灵活根据整式乘法运算表示出各部分面积是解题关键．
36．
【详解】
试题分析：
考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简.
37．8
【解析】
【分析】
利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开，去括号合并同类项得到最简结果，把x2+2x＝3代入即可得答案.
【详解】
原式=x2+2x+1-(x2-4)+x2
=x2+2x+1-x2+4+x2
=x2+2x+5.
∵x2+2x＝3，
∴原式=3+5=8.
故答案为8
【点拨】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
38．2a+1
【详解】
【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
【详解】（a+1）2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1，
故答案为2a+1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.
39．26
【分析】
先运用整式乘法法则计算，得到最简结果，变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：由得：，
原式＝
＝
＝
＝
＝，
故填：26
【点拨】此题考查了整式的混合运算−化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，多项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
40．
【分析】
利用新定义得到x的方程，解得x的值即可．
【详解】
解：由题意可得：
，
即，解得，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查新定义情境下的整式的乘法运算，一元一次方程的解法，属于基础题．
41．(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】
(1)根据单项式乘多项式、完全平方公式展开，再合并同类项，可以解答本题；
(2)根据平方差公式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，可以解答本题；
(3)根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题；
(4)先计算乘方运算，再计算乘法、除法运算即可解答本题．
【详解】
(1)

；
(2)

；
(3)

；
(4)

．
【点拨】本题考查了整式的混合运算以及单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．（1）C；（2）①2；②0；③2
【详解】
（1）
∴
∴
同理：
由两边同时减去2，得：

∴
故选C.
（2）①原式=（a+）2-2=（-2）2-2=2
②原式=a2+-2=2-2=0
③原式=（ a2+）2-2=（2）2-2=2
43．（1）1；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）根据题意可得（m+1）2+n2=0，再根据实数的非负性得到m和n，再代入计算即可；
（3）原式去括号合并，再将A和B代入，去括号合并，最后将m和n的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2=1；
（2）当x=m时，m2+2m+n2=-1，
∴m2+2m+1+n2=0，
∴（m+1）2+n2=0，
∴m=-1，n=0，
∴x=-m时，多项式A=x2+2x+n2的值为m2-2m+n2=3；
（3）
=
=
=
=
=
=
=
【点拨】本题考查整式的加减运算—化简求值，完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
44．（1）-x10y6z2；（2）x2-4x+4-9y2；（3）11x+26；（4）48ab.
【分析】
（1）先算乘方，再算乘除即可；
（2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式进行计算即可；
（3）先算乘法，再合并同类项即可；
（4）先根据完全平方公式展开，再合并同类项即可．
【详解】
（1）原式=4x8y6z2•8x4y2÷（-15x2y2）=-x10y6z2；
（2）原式=（x-2）2-（3y）2=x2-4x+4-9y2；
（3）原式=x2+8x+16-x2+5x-2x+10=11x+26；
（4）原式=9a2b2+24ab+16-9a2b2+24ab-16=48ab．
【点拨】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的化简和计算能力，题目比较典型，难度适中．