专题14.12 平方差公式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.12  平方差公式（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　

2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

4.能用平方差公式的逆运算解决问题

【要点梳理】

要点一：平方差公式

平方差公式： 

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

要点二：平方差公式的特征

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

① 位置变化，xyyxx2y2

② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4

④ 系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤ 换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥ 增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2

                      xyzxyzxyzxyz

                      2x2y2z

                      4xy4xz

【典型例题】

类型一、利用平方差公式进行运算 

1．运用平方差公式计算：

（1）；                      （2）；

（3）；              （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

 【分析】

（1）利用平方差公式计算得出;

(2)将原式变形为，再利用平方差公式计算得出.

（3）连续用平方差公式计算即可；

（4）原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．

【详解】

解：（1）

（2）

=

（3）

（4）

，

，

【点拨】本题考查利用平方差公式进行整式的混合运算,关键掌握平方差公式的特征,正确运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算即可．

举一反三：

【变式1】用简便方法计算：20152－2014×2016

【答案】1

 利用平方差公式将后面的进行简便计算，从而得出答案．

解：原式

．

4．已知，求的值．

【答案】-15

【分析】先变形，再代入求出即可．

 解：∵x+y=3，x-y=5，

∴y2-x2

=-（x2-y2）

=-（x+y）（x-y）

=-1×3×5

=-15，

故答案为：-15．

【点拨】本题考查了平方差公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（m+n）（m-n）=m2-n2．

【变式2】 先化简，再求值．（x-3）（x＋2）-（3＋x）（3-x）-2x（x-2）其中，x＝2．

【答案】

【分析】

由多项式乘以多项式、平方差公式、单项式乘以多项式等乘法法则，化简括号，再合并同类项，最后代入x＝2计算解题即可．

【详解】

（x-3）（x＋2）-（3＋x）（3-x）-2x（x-2）

当时，

原式

【点拨】本题考查整式的化简求值，其中涉及平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式3】某同学在计算3（4+1）（+1）时，把3写成(4﹣1)后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：

3（4+1）（+1）=（4﹣1）（4+1）（+1）=（﹣1）（+1）=﹣1=255．

请借鉴该同学的经验，计算：．

【答案】2.

【解析】试题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．

  解：原式=

=

=2．

考点：平方差公式．

【变式4】计算：.

【答案】2

 【分析】在前面乘一个2×（1-），然后再连续利用平方差公式计算.

解：原式=2（1-）（1+）…（1+）+

=2（1-）+

=2-+

=2

【点拨】本题考查了平方差公式的运用，添加2×（1-）是解题的关键.

类型二、平方差公式与几何图形 

2．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；

（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．

【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．

【分析】

（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．

（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.

【详解】

（1）矩形的长为：m﹣n，

矩形的宽为：m+n，

矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；

（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，

当m=7，n=4时，S=72-42=33．

【点拨】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．

举一反三：

【变式1】乘法公式的探究及应用.

小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是_______ (写成两数平方差的形式)；

小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是_______，长是______，面积是_________ (写成多项式乘法的形式).

小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式________ (用式子表达).

【答案】小题1： ；小题2： ，，；小题3：

【分析】对于小题1，利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；
对于小题2，利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；
对于小题3，由图②与图①阴影部分的面积相等即可得到答案，注意乘法公式等号右边是展开的形式.

【详解】

小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；故答案为：；                    

小题2：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；故答案为：，，；

小题3：(等式两边交换位置也可)；

故答案为：.

【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式.

【变式2】如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

【答案】解：（1）.

（2）.

【详解】

解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 

∴． 

S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）； 

（2）根据题意得： 

（a+b）（a-b）= ．

【变式3】从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．

（1）上述操作能验证的等式是     （请选择正确的一个）

A．a﹣2ab+b＝（a﹣b）

B．a﹣b＝（a+b）（a﹣b）

C．a+ab＝a（a+b）

（2）若 x﹣9y＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；

（3）计算：．

【答案】（1）B   （2）3  （3）

【分析】

（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积，即可得解；

（2）利用（1）的结论求解即可；

（3）利用（1）的结论进行化简计算即可．

【详解】

（1）根据阴影部分的面积可得

故上述操作能验证的等式是B；

（2）∵

∴

∵

∴

∴；

（3）

．

【点拨】本题考查了平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的证明以及应用是解题的关键．