专题13.11 等边三角形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题13.11  等边三角形（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握等边三角形的性质和判定.

2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．

3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

要点一、等边三角形
等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.　　

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

要点二、等边三角形的性质

等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

要点三、等边三角形的判定

等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

要点四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　

    要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.

【典型例题】

类型一、等边三角形的性质 

1．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．

【答案】证明见解析.

【分析】要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．

证明：连接，

在等边，且是的中点，

，，

，

，

，

，

，

，为等腰三角形，

又，

是的中点．

【点拨】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，已如是等边三角形，于点，于点，，求证：

（1）≌；

（2）是的垂直平分线．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）已知BE=CF,∠EBD=∠FCD, ∠BED=∠CFD，根据三角形全等的判定定理可得；

（2）通过证明△ABD≌△ACD得BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，推出是的垂直平分线．

证明：（1）∵是等边三角形，∴，

∵，，∴，

∵，∴≌．

（2）∵≌，∴，

∵是等边三角形，∴，

∴点，均在的垂直平分线上，

∴是的垂直平分线．

【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，关键是找边角关系，选择合适的判定定理证明，另外及垂直平分线判定需要满足两条，一平分，二垂直.

【变式2】 已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．

求证：AD＝BE．

【答案】证明见解析.

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．

证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键．

4．【变式3】 已知是等边三角形，点是直线上一点，以为一边在的右侧作等边．

（1）如图①，点在线段上移动时，直接写出和的大小关系；

（2）如图②，点在线段的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2），不发生变化；理由见解析

【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，容易得出结论；
（2）由△ABC和△ADE是等边三角形可以得出AB=BC=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，得出∠ABD=120°，再证明△ABD≌△ACE，得出∠ABD=∠ACE=120°，即可得出结论．

解：（1）；理由如下：

∵和△是等边三角形，

∴，

∴；

（2），不发生变化；理由如下：

∵是等边三角形，是等边三角形，

∴，，，

∴，，

∴，

在和中

，

∴，

∴．

∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

类型二、等边三角形的判定 

2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.

【答案】见解析.

【分析】证法一：根据平行线的性质可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形.

证法二：根据平行线的性质可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形.

解：证明:

证法一： ∵  CD∥AB，

∴  ∠A＝∠ACD＝60°．

∵  ∠B＝60°，

在△ABC中，

∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°．

∴  ∠A＝∠B＝∠ACB．    

∴  △ABC是等边三角形.

证法二： ∵  CD∥AB，

∴  ∠B＋∠BCD＝180°．

∵  ∠B＝60°，

∴  ∠BCD＝120°．

∴  ∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°．

在△ABC中，

∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°．

∴ ∠A＝∠B＝∠ACB．

∴ △ABC是等边三角形.

【点拨】本题考查平行线的性质和等边三角形的判定.

举一反三：

5．【变式1】 如图，，，，在同一条直线上，交于点，，，．

（1）求证：．

（2）若，，试判断的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）是等边三角形，见解析

（1）证明：∵，

∴．

在和中，

∴．

（2）是等边三角形，理由如下：

∵，，，

∴，，

∴，

，

,

∴是等边三角形．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确找出判定全等三角形的条件是解题的关键．

【变式2】 已知a，b，c是的三边，且满足，试判断的形状．

【答案】是等边三角形．

【分析】直接利用偶次方的性质得出a，b，c之间的关系，即可得出答案．

解：∵，

且，，，

∴，，．

∴，，．

∴．

∴是等边三角形．

【点拨】本题考查了偶次方的性质，正确得出a，b，c之间的关系是解答本题的关键．

【变式3】 如图，在四边形中，，平分，且，求的大小.

【答案】60°

【分析】由，得∠BDC=∠ABD，由平分，得∠ADB=∠BDC，从而得到∠ADB=∠ABD，进而得到∆ABD是等边三角形，即可得到答案.

解：∵，

∴∠BDC=∠ABD，

∵平分，

∴∠ADB=∠BDC，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∵

∴AB=AD=BD，

∴∆ABD是等边三角形，即：=60°.

【点拨】本题主要考查等边三角形的判定定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键.

类型三、等边三角形的判定和性质 

3．等边△ABC中，F为边BC边上的点，作∠CBE＝∠CAF，延长AF与BE交于点D，截取BE＝AD，连接CE.

（1） 求证：CE＝CD

（2） 求证：DC平分∠ADE

（3） 试判断△CDE的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；

（2）根据，可证得，，然后根据等边对等角即可证得；

（3）根据，证得，得到，然后根据有一个角是度的等腰三角形是等边三角形，即可证得.

解：（1）在和中，

，

（），

；

（2），

，，

，

，

，

平分；

（3）为等边三角形，

，

，

，

又，

为等边三角形.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定方法，正确证得，是关键.

举一反三：

【变式1】 如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝a，且BD＝BE．

（1）求证：AC＝AD+CE；

（2）若a＝120°，点F在直线l的上方，△BEF为等边三角形，补全图形，请判断△ACF的形状，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）△ACF为等边三角形．

【分析】（1）由外角的性质可得∠ADB＝∠CBE，由“AAS”可得△ADB≌△CBE，可得AD＝CB，AB＝CE，可得结论；

（2）由“SAS”可证△AFB≌△CFE，可得AF＝CF，∠AFB＝∠CFE，可得∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°，可得△ACF是等边三角形．

证明：（1）∵∠DAB＝∠DBE＝α，

∴∠ADB+∠ABD＝∠CBE+∠ABD＝180°﹣α．

∴∠ADB＝∠CBE

在△ADB和△CBE中，

∵,

∴△ADB≌△CBE（AAS）

∴AD＝CB，AB＝CE．

∴AC＝AB+BC＝AD+CE

（2）补全图形．

△ACF为等边三角形．

理由如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BF＝EF，∠BFE＝∠FBE＝∠FEB＝60°．

∵∠DBE＝120°，∴∠DBF＝60°．

∵∠ABD＝∠CEB（已证），

∴∠ABD+∠DBF＝∠CEB+∠FEB，

即∠ABF＝∠CEF．

∵AB＝CE（已证），

∴△AFB≌△CFE（SAS），

∴AF＝CF，∠AFB＝∠CFE．

∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°．

∴△ACF为等边三角形．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题关键．

11．【变式2】 已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．

（1）求证：△AEB≌△CDA；   

（2）求∠BPQ的度数；

（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）14

【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14．

解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14

【点拨】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．

【变式3】 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长.

【答案】（1）30°；（2）4.

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；

（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等边三角形．

∴ED=DC=2，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴DF=2DE=4．

类型四、含30度的直角三角形 

4．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长.

【答案】CD=2.

【分析】先延长AD、BC交于E,根据已知证出△CDE是等边三角形,设CD=x=CE=DE=x,根据AD=4，BC=1和30度角所对的直角边等于斜边的一半,求出x的值即可.

解：延长AD、BC，两条延长线交于点E,

∵∠B=90°，∠A=30°

∴∠E=60°

∵∠ADC=120°

∴∠CDE=60°

∴△CDE是等边三角形

则CD=CE=DE

设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1

∵ 在Rt△ABE中，∠A=30°

∴ x+4=2(x+1)

解得：x=2

∴CD=2.

【点拨】此题考查了含30度角的直角三角形,用到的知识点是30度角所对的直角边等于斜边的一半,等边三角形的判定与性质,关键是作出辅助线,构造直角三角形.

举一反三：

【变式1】 如图所示，在中，，，AD与BE相交于点P，于点Q．

求证：（1）．

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）先根据推出是等边三角形，则有，然后利用SAS即可证明全等；

（2）由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则，根据含30°的直角三角形的性质即可证明结论．

解：（1），

是等边三角形．

．

，

．

（2），

，

．

．

，

．

．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含30°的直角三角形的性质是解题的关键．

【变式2】（ 1）如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 请你证明结论②．

（2）如图，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．

【解析】

【分析】（1）由已知易证得△ADC≌△ABC，可得AD＝AB，根据已知可得∠ACD＝30°可得AC＝2AD，即可得结论．

（2）以上结论仍成立；作辅助线CE⊥AD，CF⊥AB，首先证得△ACF≌△ACE，可得CF＝CE，即可证得△CFB≌△CED，即可得（1）中结论．

（3）同（2）理作辅助线可得DC＝BC成立，AB﹣AD＝AC．

解：（1）∵AC平分∠MAN，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC为公共边，

∴△ADC≌△ABC（AAS），

∴AD＝AB，DC＝BC①；

∵∠DCA＝30°，

∴AC＝2AD＝AD+AB②；

（2）如图：作辅助线CF⊥AB，CE⊥AD，

∵AC平分∠MAN，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°，

又∵CF⊥AB，CE⊥AD，且AC为公共边，

∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF＝CE①；

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MAN＝120°，

∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°，

∵在直角三角形AFC中∠ACF＝30°，

∴∠DCA+∠FCB＝30°，

∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE＝30°，

∴∠FCB＝∠DCE②；

由CE⊥AD，CF⊥AB，且已证得条件①②，

∴△CED≌△CFB（ASA），

∴DC＝BC；ED＝FB；

∵在直角△ACF中，AC＝2AF，在直角△ACE中，AC＝2AE，即AC＝AE+AF，

已证得ED＝FB，

∴AC＝AD+AB；

（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．

故答案为：（1）见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．

【点拨】本题考查三角形全等的判定，涉及到直角三角形、角平分线、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．

【变式3】 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长.

【答案】CD=a

【分析】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a.

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=30°

∵CD是腰AB上的高

AB=AC=2a

∴AC=2CD

∴CD=a

【点拨】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形.