第8讲 二次函数与实际问题-讲义(学生版+教师版)2021-2022学年九年级数学人教版上册学案

第8讲  二次函数与实际问题

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1．建立数学模型，确定二次函数的解析式；
2．利用二次函数的性质，解决实际生活中的最值问题；
3．分段函数关系式的确定.
                       

【板块一】球类运动问题
方法技巧
由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解.
【例】如图，排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2m的A处发出,把球看成点，其运行的高度y(m）与运行的水平距离x(m）満足关系式

y＝a（x－6）2＋h，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．
（1）当h＝2.6时,求y与x的函数关系式（不要求写出自变x的取值范围）；
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网又不出边界，则h的取值范围是多少?

【解析】（1）当h＝2.6时,y=(a－6）2＋2.6过点（0，2），36a=-0．6,a= ，

此时y＝（x－6）2＋2.6；
（2）当x=9时，y=9＋2.6＝2.45＞2.43,所以球能过网；当y＝0时
（x-6）2＋2.6＝0,x1=6+＞18，x2=6-(舍去)，故球会出界；
（3）y=a(x-6)2+h过（0,2）,得2=36a＋h时,当x=9时,y=9a+h＞2.43,

解得h＞．又当x=18时，y≤0,得h≥．∴h的取值范围是h≥.

针对练习1

1．小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A的坐标为（0，），球在最高点B的坐标为（3,.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知某市男子实心球的得分标准如表;

求小明在实球训练中的得分;

（3）在小明练习实心球的正前方离投掷点7米处有一个身高1.2米的小友在玩耍，问该小朋友是有危险如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由？

解：（1）抛物线的解析式是y＝；
（2）将y＝0代入y＝；求得x1=-2(舍去)，x2=8，小朋友掷出的距离是8米，得分是14分；
（3）小朋友有危险，理由如下，将x＝7代入y＝=1<1.2,

∴身高1.2米的小朋友有危险.

【板块二】桥梁、隧道问题

方法技巧

建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并结合函数图象进行分析.
 

题型一   水位变化问题

【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED．DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以FD所在的直线为x轴抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式;
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：小时）的变化满足函数关系式：h＝．且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

【解析】（1）题意可得，顶点C为（0，11），设抛物线解析式y＝ax2＋11，

由抛线对称性得B（8，8），∴8＝64a＋11，a= ，抛物线解析式为；
（2）画出h＝的图象如右图.
当水面到顶点C的距离不大于5米时，h≥6，当h＝6时，t2＝35，t1=3，
结合图象变化趋势，禁止通行时间为35－3＝32（小时）
答：禁止船只通行时间为32小时.
              

 题型二  限宽限高问题
【例2】如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向车道，问这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型供壁上需要安装两排禁示灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m,那么，两排灯的水平距离最小是多少米？

【解析】（1）依题意D(6，10），C(12，4)，设抛物线解析式为y＝a（x-6）2+10，
过（12，4），得36a＋10=4,a＝  ∴该抛物线解析式为
（2）当x＝4＋6＝10时，故这辆货车能安全通过；
（3）当y＝8.5时, x1＝3．x2＝9，x2－x1＝6,又y≤8,

∴两排灯的水平距离最小是6米.

针对练习2
1．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现在有一辆载有救援物资从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米（桥长忽略不计），货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行．试问：汽车按原来速度行驶，能否安全过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？

解：（1）y＝
(2)(280－401)÷40=6(小时)，当x=-5时,y=-1,1÷0.25=4,6＞4

∴汽车按原来速度行驶，不能安通过此桥；
（280-401）÷4＝60，∴要使货车安全通过此桥，速度应超过60千米/小时.
                   

【板块三】   市场销售问题
方法技巧

通过“利润＝售价-进价”“”等公式建立函数模型，把利润问题转化成函数问题来解决.
【例】武汉市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

未来40天内，该商品每天的价格y（元／件）与时间t（天）的函数关系式为：

（t为整数）,根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，21≤t≤40时，满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式;
（2）请预测未来20天中哪一天的日销售利最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜40给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐后的日销利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围.
【解析】

(1)当1≤t≤20（t为整数）时,m＝一2t＋100,当21≤t≤40（t为整数）时，m＝t＋40；
（2）设前20天日销售利润为P1元，后20天的日销售利调为P2元，

当1≤t≤20（t为整数）时，P1＝（－2t＋100），

所以t＝15，P1有最大值612．5元

当21≤t≤40（t为整数）时，P2=（t+40）

所以t＝21时，P2有最大值579.5元,综上可得：当t＝15时，得最大利润为612.5元；
(3)当1≤t≤20（t为整数）时P1＝（－2t＋100） 

对称轴为：t=15+2a,∵前20天中，每天扣除捐后的目利随时间t(天)的增大而増大，且t为整数，

∴15＋2a≥20，解得a≥25，∴2.5≤a＜4．

针对练习3

1.杰明公司生产的某种时令商品每件成本为20元，据市场调分析，五月份的日销售量m(件)与时间t（天）符合一次函数关系m＝at＋b且t＝2时，m＝92;t=10时，m＝76．而且前15人每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝0．25t＋25（1≤t≤15且为整数），第16天月底每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y=－0．5t＋40（16≤t≤31且t为整数）

（1）求m与t之间的函数关系式;

(2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐贈a元利润（a＜3）给希望工程，公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t(天）的增大而增大，求a的取值范围.
解：（1）m＝－2t＋96；
（2）设日销售利润为w，根据题意，得：
①当1≤t≤15时,w=m(y1-20)＝（-2t＋96）（0.25t＋25-20）=

当t=14时，w取值最大值，w最大＝578
②当16≤t≤31时，w＝m（y2－20）＝t2－88t＋1920＝（t－44）2－16，∵抛物线开口向上，且对称轴t＝44，∴当15≤t≤3l时，w随t的增大而减小，∴当t＝16时，w取得最大值，w的最大值为768，∵768＞578，∴第16天销售利润最大，最大值为768元
③∵w=

∴,抛物线开口向下，且前15天中，日销售得润随时间t（天）的增大而增大,

又t为整数，∴对称轴x＝2a＋14≥15，∴a，又∵a＜4  ，∴2≤a＜3．
 

2．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？

解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2600元
3000－10（x－10）＝2600，解得x＝50
答：商家一次购买诚种产品50件时，销售单价恰好为2600元.

（2）当0≤x≤10时，y＝（3000－2400）x＝600x,

当10＜x≤50时，y＝x[3000－10（x－10）－2400]＝－10x2＋700x
当x＞50时，y=(2600-2400)x=200x
∴
（3）因为要满足一次购买的数量越多，所获的利润越大，所以y应随x的增大而增大,
而y＝600x及y＝200x均是y随x的增大而增大；
二次函数y＝－10x2＋700x＝－10（x－35）2＋12250，当10＜x≤35，y随x的増大而增大，

当35＜x≤50封，y随x的增大而减小，因此x的取值范围只能为10＜x≤35，

即一次购买的数量为35件的销售单价恰好为最低销售单价.
∴当x＝35时，最低销售单价为3000－10（35－10）＝2750（元）

【板块四】   图形面积问题

方法技巧

正确建模，求出函数解析式，利用二次函数图象的性质結合自变量的取值范同，求出最值.

【例】如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）
（1）要使长方体盒子的底面积为18cm，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）如果把矩形硬纸板的四周分別剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状，同样大小的矩形，然后折合成一个有盖两长方体盒子，是否有侧面积最大的情況？若有，请求出最大值和此时剪去的正方形的边长；请说明理由.

【解析】（1）正方形的边长为1cm
（2）设正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2．①当在长边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y＝2x（8－2x）＋2x·当x=时，y最大
②当在短边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y=2x·(10-2x)+2x·当x=时，y最大比较①②知：当剪去的正方形的边长为cm时，盒子的面积最大，最大面积为
                        

针对练习4
1．在一块□ABCD的空地上划一块□MNPQ进行绿化，如图□MNPQ的顶点在 ABCD的边上，已知∠A＝60°，∠AMN＝90°，且AM＝PC＝x m,已知平行四边形ABCD的边BC＝20m，AB＝a m，a为大于20 m的常数，设四边形MNHQ的面积为S m
（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围;
（2）若a＝40m，求S的最大值并求出此时x的值;
（3）若a＝200,请直接写出S的最大值.

解：（1）S＝S□ABCD －2S△AMN－2S△BNP

（2）a＝40时，S＝

（3）a＝200时，S max＝1600.

2．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）已知墙的最大可用长度为8米．
①求所围成花圃的最大面积；
②若所围成花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围.

解：（1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0＜x＜6）
（2）①S＝－4 x2＋24x=-4（x－3）2＋36，

由24-4x≤8,24-4x>0,解得4≤x<6,∵当x>3时s随x的增大而减小，当x＝4时
s取最大值32，∴所围成花圃的最大面积为32平方米；
②当-4x2＋24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5，所以4≤x≤5