专题11.10 三角形有关的角-对顶三角形模型（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.10  三角形有关的角-对顶三角形模型（专项练习）

对顶三角形的含义：

结论：∠A+∠B=∠C+∠D

一、填空题

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．

2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．

二、解答题

3．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

4．阅读材料：

如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．

结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．

解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，

在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，

即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，

∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°

即五角星的五个内角之和为180°．

解决问题：

（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　；

（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　；

（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　；

（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　；

请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．

5．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；

（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

6．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．

8．如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数.

9．如图，求的度数.

10．如图，求的度数.

11．如图，，求的度数.

12．如图所示，求的度数.

参考答案

1．900°

【分析】

根据多边形的内角和，可得答案．

【详解】

解：连EF，GI，如图

，

∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），

即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，

∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，

故答案为：900°．

【点拨】

本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．

2．1080°

【分析】

连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．

 解：连KF，GI，如图，

∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），

即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，

∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．

故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．

故答案为：1080°．

【点拨】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．

3．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；

（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．

 解：（1）∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF=，

 ∵，
∴，

∴；

（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，

∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，

∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，

∴∠A+∠C=2∠P，

∵∠A=42°，∠C=38°，

∴∠P=（38°+42°）=40°．

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．

4．（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析

【分析】

（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；

（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；

（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；

（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．

 解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；

（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；

（3）连接BH、DE，

∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；

（4）连接ND、NE，

∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．

故答案为：360°；540°；720°；1080°．

【点拨】

本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．

5．（1）360°；（2）720°；（3）540°

【分析】

（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，

（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，

（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．

 解：（1）如图①，连接AD，

由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，

∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F

即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，

∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，

（2）如图②，由（1）方法可得：

∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，

∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，

（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，

∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，

∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，

【点拨】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．

6．540°

【分析】

如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．

【详解】

解：如图所示：

由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．

【点拨】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键

7．360°

【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．

解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，

∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，

∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．

【点拨】

此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

8．

【分析】设，则，，，根据三角形ABO与三角形DFO的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.

解：设，则，

在直角中，，

∵是的平分线，

∴，

在直角中，.

∵,

又∵，

∴，

即，

∴.

【点拨】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键.

9．.

【分析】连接CD，将转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案.

解：如图所示，连接CD.

由对顶三角形得，，

∴.

【点拨】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.

10．.

【分析】根据三角形的内角和定理即可求解

解：连结，

BC与DE相交成对顶三角形，

，

【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键

11．.

【分析】根据三角形的内角和定理即可求解

【详解】

解： 在中，

在中，

在中，

在中，

∴

∵

∴

【点拨】

本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键

12．.

【解析】

【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．

解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
又∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

【点拨】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键．