专题1.18 有理数的除法（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.18  有理数的除法（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；

2. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；

3. 培养观察、分析、归纳及运算能力.

【要点梳理】

要点一、

1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．

特别说明：

(1).“互为倒数”的两个数是互相依存的.如 - 2的倒数是， - 2和是互相依存的；

(2).0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；

(3).倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

(4).互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．

 要点二、

2. 有理数除法法则：

法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.

   法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.

特别说明：

（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．

    （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．

    （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．

要点三、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．

要点四、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．

【典型例题】

类型一、有理数的除法运算

1．计算：（1）       （2）

 （3）

【答案】（1）5；（2）；（3） - 10                               

【解析】试题分析:本题考查了有理数的乘法和除法.(1)把 - 8 - 和 - 0.125交换到一起计算;(2)把除法转化为乘法计算;(3)先把除法转化为乘法,再利用乘法的分配律计算.

（1）( - 8)×5×( - 0.125)

=( - 8)×( - 0.125)×5

=1×5=5；

（2）原式= =；

(3)原式

举一反三：

【变式1】 计算：（1）；  （2）.

【答案】（1）2；（2）

【分析】把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可；

解：（1）原式=

=

=2；

（2）原式=

=

=.

【点睛】本题考查了两个有理数的除法法则，熟练掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解答本题的关键.

【变式2】；

【答案】

【解析】【分析】先根据除以一个数乘以这个数的倒数，把除法运算转化为乘法运算，然后再根据乘法法则计算即可.

解：

=

= - .

【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握除以一个数乘以这个数的倒数是解答本题的关键.求一个小数的倒数时，要把小数化成分数求解.

【变式3】 数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番用了如下方法解决了这个问题．

小明的解法：原式的倒数为，

所以．

请你运用小明的解法解答下面的问题．

计算：．

【答案】．

【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值．

解：原式的倒数为

，

则．

【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

类型二、有理数加减乘除混合运算

2．计算：（1）         

（2）  

（3）         

（4）

【答案】(1) - 9；(2) - 31；(3) - 26；（4）.

【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）利用乘法的分配律计算即可；（3）根据有理数的运算法则，先算乘除，再算加减即可；（4）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可.

解：（1）原式= - 3 - 4 -  11+9= - 9；

（2）原式= - 40+5+4= - 31；

（3）原式== - 26；

（4）原式=.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.

举一反三：

【变式1】计算：

【答案】

【分析】（1）根据有理数的乘除法的运算法则进行计算即可得到结果；（2）运用乘法分配律把括号去掉，再进行计算即可.

解：.

.

；

.

.

.

．

【点睛】本题主要考查学生依据四则运算计算方法正确进行计算的能力，关键是计算结果要准确．

【变式2】 计算

（1）；               （2）；

（3）          （4）

【答案】（1）2；（2）；（3） - 1；（4）0.

【分析】（1）把带分数化成假分数，再约分计算即可；（2）把除法转化为乘法，再进行计算即可；（3）把除法转化为乘法，再进行计算即可；（4）把除法转化为乘法，再运用分配律把括号展开，最后进行计算即可.

解：（1）

=

=

=2；

（2）

=

=

=；

（3） 

=

=

= - 1；

（4）

=

=

=

=0.

【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用．

【变式3】观察下列各等式，并回答问题：

，，，，…

（1）填空：       （n为整数）

（2）计算：

（3）计算：

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】(1)首先观察出等式左边的式子分母是两个连续自然数的乘积，分子是1，等式右边的式子两个分数的差，分母仍然是对应的两个自然数，分子是1，由此得出一般规律；

(2)利用(1)的规律把算式展开就可以解答；

(3)先提取2出来，然后再按(2)中方式处理即可求解．

解： (1)由，

，

，

……，可知，

故答案为：；

(2)根据(1)中的规律有：

原式=

故答案为：；

(3)原式

=

故答案为：．

【点睛】本题考查有理数的加减乘除混合运算，属于找规律型问题，解决本题的关键的一个公式为：，其中n为正整数．

类型三、有理数除法的应用

3、如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题．

（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？

（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？

【答案】（1）15；（2）﹣5；

【解析】分析：（1）根据两数相乘，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；

（1）根据两数相除，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；

详解：（1）抽﹣3和﹣5，

最大值为：﹣3×（﹣5）=15；

（2）抽1和﹣5，

最小值为：（﹣5）÷1=﹣5；

点睛：本题考查了有理数乘法法则和除法法则的计算，熟练掌握有理数乘法法则和除法法则是解答本题的关键.

举一反三：

【变式1】下面是小明的计算过程，请仔细阅读．

计算：（ - 15）÷（ - 3 - ）×6．

解：原式=（ - 15）÷（ - ）×6 ……第一步

=（ - 15）÷（ - 25）……第二步

= - ……第三步

并解答下列问题．

（1）解答过程是否有错？

（2）若有在第几步？

（3）错误原因是什么？

【答案】见解析.

【分析】（1）根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得； （2）依据混合运算顺序和运算法则判断即可得； （3）由乘除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得．

解：（1）解答过程有错；

（2）错误出现在第二步和第三步；

（3）第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；

第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除同号得正．

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．

【变式2】我们规定：一列数x1,x2,x3,……，xn,从这列数的第二项数起，每一项与它前面的项的比都等于一个常数，就把这样的一列数叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.如1,2,4,8，…….这列数就是等比数列，公比是2.

（1）等比数列5， - 15,45， - 135，……，请计算这个等比数列的公比？

（2）若一个等比数列： - 9，a,b,……,的公比是 - ，求a,b的值.

（3）一个等比数列的第二项是 - 10，第三项是 - 20，求这组数列的第一项和第五项.

【答案】(1) - 3;(2)a=3，b= - 1；（3）第一项是 - 5，第五项是 - 80.

【分析】（1）由于 - 15÷5= - 3，45÷（ - 15）= - 3，所以可以根据规律得到公比为 - 3， （2）由公比是 - ，分别表示出a,b，计算即可.（3）先根据第二项是10，第三项是 - 20，可得公比是 - 20÷10= - 2，依此可求第一项和第五项．

解：（1）由于（ - 15）÷5= - 3，或45÷（ - 15）= - 3，或（ - 135）÷45= - 3，所以这个等比数列的公比是 - 3；

（2）a= - 9×（ - ）=3；b=3×（ - ）= - 1；

（3）由第二项是 - 10，第三项是 - 20，知这组等比数列的公比是（ - 20）÷（ - 10）=2，所以第一项是（ - 10）÷2= - 5；第四项是（ - 20）×2= - 40，第五项是（ - 40）×2= - 80.

所以，这组等比数列的第一项是 - 5，第五项是 - 80.

【点睛】此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，应用发现的规律解决问题．

【变式3】阅读下列材料：

计算：÷﹙﹣+﹚．

解法一：原式=÷﹣÷+÷=×3﹣×4+×12=．

解法二：原式=÷﹙ ﹣ +﹚=÷ =×6=．

解法三：原式的倒数=﹙﹣+)÷=﹙﹣+)×24=×24﹣×24+×24=4．

所以，原式=．

（1）上述得到的结果不同，你认为解法　   　是错误的；

（2）请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙ - +﹣﹚．

【答案】（1）一；（2） -

【分析】（1）我认为解法一是错误的；（2）选择解法三求出值即可．

解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；

故答案为一；

（2）原式的倒数为：

=﹣7+9﹣28+12=﹣35+21=﹣14，

则原式

【点睛】考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键.