专题4.14 余角和补角（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题4.14 余角和补角（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共20页。试卷主要包含了求一个角的余角，求一个角的补角，余角与补角的有关计算，同角相等等内容，欢迎下载使用。

类型一、求一个角的余角
1．如果的补角与的余角互补，那么是（ ）
A．锐角B．直角
C．钝角D．以上三种都可能
2．如果和互余，下列表的补角的式子中：①180°－，②90°＋，③2＋，④2＋，正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
3．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二、求一个角的补角
4．如图，已知点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．115°C．65°D．130°
5．有下列四种说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
6．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．则上述结论正确的是（ ）
①②④B．②③C．④D．①④
类型三、余角与补角的有关计算
7．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（ ）
A．140°B．130°C．50°D．40°
8．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如果与互补，与互余，则与的关系是（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
类型四、同角（等角）的余角（补角）相等
10．如图∠AOC=∠BOD=，4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲：∠AOB=∠COD；乙：图中小于平角的角有6个；丙：∠AOB+∠COD =；丁：∠BOC+∠AOD = .其中正确的结论有（ ）.
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．如图，直线AB，CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠3的关系是（ ）
A．互余B．对顶角C．互补D．相等
12．如图，在中，，点，分别在，边的延长线上，于点，与交于点．则与的数量关系是（ ）．
A．B．与互余
C．与互补D．
填空题
类型一、求一个角的余角
13．如图，OC⊥AB，OD⊥OE，图中与∠1互余的角是__________．
14．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1=65°，则∠3=________
15．如图，∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝30°，则∠AOB＝_____°．
类型二、求一个角的补角
16．如图，相交于点，平分，若，则的度数是_____________.
17．若比的补角的多，则的余角等于___．
18．如图，把直角三角板ABO的直角顶点0放在直尺CDEF的边CD上，如果∠AOC=350，
那么∠AOD是 0
类型三、余角与补角的有关计算
19．已知的补角是它的3倍，则_________.
20．下列四个命题：
①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；
④实数a是实数a2的算术平方根．
其中正确命题的序号为_____．
21．如图所示，O是直线AB与CD的交点，∠BOM：∠DOM＝1：2，∠CON＝90°，∠NOM＝68°，则∠BOD＝_____°．
类型四、同角（等角）的余角（补角）相等
22．如图，射线OA⊥OC，射线OB⊥OD，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____°.
23．如图，在△＝___度．
24．将三张大小相同的正方形纸片摆放如图所示位置，那∠1的度数为_____．
三、解答题
25．如图，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC=65°
（1）求∠AOD的度数；
（2）∠AOB与∠DOC有何大小关系？
（3）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，（2）的关系仍成立吗？
26．如图,A,O,B在同一条直线上,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(3)图中有哪几对角互为补角?
27．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．
(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；
(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．
28．将两个直角三角尺的顶点O叠放在一起
（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=___；若∠AOC=135°，则∠BOD=___；
（2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD=___；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．
29．三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】由题意可得的补角为180°-∠A，的余角为90°-∠A，再根据它们互补列出方程求出∠A，即可解答．
解：∵的补角为180°-∠A，的余角为90°-∠A
∴180°-∠A+（90°-∠A）=180
∴=90°
故答案为B．
【点拨】本题考查了余角、补角以及一元一次方程，正确表示出∠A的余角和补角是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据互余的两角之和为90°，进行判断即可．
解：∠β的补角=180°﹣∠β，故①正确；
∵∠α和∠β互余，∴∠β=90°－∠α，∴∠β的补角=180°﹣∠β=180°﹣（90°－∠α）=90°＋，故②正确；
∵∠α和∠β互余，∠α+∠β=90°，∴∠β的补角=180°﹣∠β=2（∠α+∠β）﹣∠β=2∠α+∠β，故③正确；
∵∠α+∠β=90°，∴2∠β+∠α=90°+∠β，不是∠β的补角，故④错误．
故正确的有①②③．
故选B．
【点拨】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
3．B
【分析】A选项，由图形可得两角互余，不合题意；B选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；C选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；D选项，由图形得出两角的关系，即可做出判断．
解：A、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意；
B、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90°﹣45°＝45°，符合题意；
C、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；
D、由图形得：90°﹣∠β＝60°﹣∠α，即∠α+30°＝∠β，不合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查余角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握余角的性质.
4．B
解：∵∠COE=90°，∠COD=25°，
∴∠DOE=90°﹣25°=65°，
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD=∠DOE=65°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°，
故选：B．
5．B
【分析】要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为90°，互补和为180°，对各个选项一一判断即可．
解：设一个角为∠α，则与它互补的角为∠β=180°-∠α.
①当∠α为锐角时，∠α＜90°，
∴∠β＞90°，
∴∠β为钝角，①正确；
②同理，若∠α为钝角，则它的补角∠β为锐角，∠β＜∠α，②不正确；
③设∠α+∠β=180°，∠γ+∠β=180°，
∴∠α=∠γ，③正确；
④30°的角与120°的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故④不正确.
故只有①③成立.
故选B.
【点拨】本题主要考查补角的定义及性质.熟练掌握补角的定义和性质进行判断是解题的关键.
6．D
解：试题解析：①∠1是∠B的余角，说法正确，故本项正确；
②互余的角有：∠1和∠B；∠1和∠CAD；∠B和∠BAD；∠CAD和∠BAD，共4对，原说法错误，故本选项错误；
③∠1的补角有：∠ACF、∠EAD，原说法错误，故本项错误；
④与∠ADB互补的角有：∠ADF、∠EAC、∠BAC，共3个，说法正确，故本项正确；
综上可得①④正确．
故选D．
【点拨】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，注意结合图形进行判断，掌握同角的余角相等、同角的补角相等．
7．C
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．
解：设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，
根据题意得，180°-α=3（90°-α）+10°，
180°-α=270°-3α+10°，
解得α=50°．
故选C．
【点拨】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．
8．C
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了余角和补角的应用，掌握余角和补角的定义是解题的关键．
9．C
【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．
解：∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠3=90°
∴∠3=90°-∠2
∴∠1-∠3=90°，即∠1=90°+∠3．
故选C．
【点拨】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
10．B
【分析】根据余角的性质，补角的性质，可得答案．
解：甲∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，故甲正确；
乙∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，故乙正确；
丙∠AOB=∠COD，故丙错误；
丁：∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=180°，故丁正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了余角、补角的定义和角的有关推理的应用，能正确进行推理是解此题的关键，难度适中．
11．A
【解析】
解：∵EO⊥AB于O，
∴∠EOB=90°，
∴∠1+∠3=90°，则∠1与∠3的关系是互余．
故选A．
12．C
【分析】先根据同角的余角相等得出∠1=∠BCE，再根据∠BCE+∠2=180°，得出∠1+∠2=180°即可．
解：∵EH⊥BC，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BCE+∠B=90°，
∴∠1=∠BCE．
∵∠BCE+∠2=180°，
∴∠1+∠2=180°，
即∠1与∠2互补，
故选：C．
【点拨】本题考查了余角和补角．解题的关键是掌握余角和补角的定义，同角的余角相等的性质．
13．∠COD，∠BOE
解：因为OC⊥AB，OD⊥OE，所以∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠COD=90°，∠1+∠BOE=90°.
故答案为∠COD，∠BOE
14．155°
【解析】
已知∠1的度数，根据余角的性质可求得∠2的度数，再根据补角的性质即可求得∠3的度数．
解：∵∠1与∠2互余，∠1=65°
∴∠2=90°-65°=25°
∵∠2与∠3互补
∴∠3=180°-25°=155°
此题主要考查学生对余角和补角的性质的理解及运用能力．
15．150．
【分析】根据∠AOC＝∠BOD＝90°，∠DOC＝30°，可以算出∠BOC＝60°，再根据∠AOB＝∠AOC+∠BOC即可算出答案．
解：∵∠AOC和∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠DOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150．
【点拨】本题主要考查了余角，关键是算出∠BOC的度数．
16．150°
【分析】根据对顶角、邻补角，角平分线的定义即可判断.
解：∵∠BOC＝，
∴∠AOD＝∠BOC＝.
∴∠AOC＝−＝，
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE＝∠AOD＝×.
∴∠AOC＋，
故答案为.
【点拨】本题主要考查对顶角、邻补角，角平分线的定义.
17．
【分析】先计算∠α的大小，再计算其余角大小．
解：根据题意得，，
所以，的余角．
故答案为：．
【点拨】本题考查余角、补角的应用，熟练掌握余角和补角的计算方法是解题关键 ．
18．145
【解析】
∵∠AOC+∠AOD=180, ∠AOC=350，
∴∠AOD=180 -35 =145 .
故答案是：145.
【点拨】主要运用了邻补角的定义，解题关键是找出∠AOC和∠AOD的位置关系.
19．
【分析】先表示出这个角的补角，然后再依据的补角是它的3倍列出方程，从而可求得的度数.
解：的补角是.
根据题意得：.
解得：.
故答案为.
【点拨】本题主要考查的是余角和补角的定义，依据题意列出方程是解题的关键.
20．①③．
【分析】根据邻补角的定义、 平行线、 点与有序实数关系与算根的相关概念逐一分析解答即可.
解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直, 正确;
②经过直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行,错误;
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的, 正确;
④实数a是实数a2 的算术平方根, a是负数时,错误;
故答案为: ①③.
【点拨】本题主要考查邻补角的定义、角平分线、平行线、点与有序实数对的关系及算术平方根等知识，需综合掌握各知识进行判断.
21．33．
【分析】根据角的和差关系可得∠DOM＝∠DON﹣∠NOM＝22°，再根据∠BOM：∠DOM＝1：2可得∠BOM＝∠DOM＝11°，据此即可得出∠BOD的度数．
解：∵∠CON＝90°，
∴∠DON＝∠CON＝90°，
∴∠DOM＝∠DON﹣∠NOM＝90°﹣68°＝22°，
∵∠BOM：∠DOM＝1：2，
∴∠BOM＝∠DOM＝11°，
∴∠BOD＝3∠BOM＝33°．
故答案为：33．
【点拨】本题考查了余角的定义，角的和差的关系，掌握角的和差的关系是解题的关键．
22．40
【解析】
【分析】根据OA⊥OC，OB⊥OD，可得∠AOC=90°，∠BOD=90°，然后得到∠AOB与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，根据同角的余角相等，继而可求解即可．
解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=90°，∠BOD=90°，
∴∠AOB与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，
∴∠AOB=∠COD =40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了余角的知识，关键发现∠AOB、∠COD都是∠BOC余角，根据同角的余角相等解答.
23．25
【分析】由已知可得+=，+=，所以，＝.
解：由已知可得+=，+=，
所以，＝
故答案为25
【点拨】本题考核知识点：余角.解题关键点：理解同角的余角相等.
24．57°
【分析】根据题意得出：∠2=10°，再利用余角的定义得出答案．
解：如图所示：由题意可得：∠2=10°，则∠1的度数为：90°﹣10°﹣23°=57°．
故答案为57°．
【点拨】本题考查了余角的定义以及正方形的性质，得出∠2的度数是解题的关键．
25．(1)115°;(2)证明见解析；（3）成立.
【解析】
【分析】(1)根据直角的定义可以求得∠DOC＝∠BOD－∠BOC；然后由角间的和差关系可以求得∠AOD的度数；
(2)根据图示知∠AOB＝∠AOC－∠BOC，据此可以求得∠BOC的度数，结合(1)求得的∠AOD的度数即可解答；
(3)根据同角的余角相等解答.
解：（1）∵∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°，
∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°．
（2）∵∠DOC=25°，∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°，
∴∠AOB=∠DOC．
（3）成立，
∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC，
∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD．
【点拨】本题考查了余角的和等于90°的性质，同角的余角相等的性质，都是基本性质，需要熟练掌握．
26．答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）先求出∠BOC+∠AOE，再根据比值求出∠BOC，然后列式计算即可得解；
（2）根据互余的两个角的和等于90°找出即可；
（3）根据互补的两个角的和等于180°找出即可．
试题解析:(1)由A,O,B在同一条直线上得∠AOB=180°.
因为∠EOC=90°,所以∠AOE+∠BOC=180°-90°=90°.
又因为∠BOC∶∠AOE=3∶1,所以∠BOC=67.5°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-67.5°=22.5°.
(2)∠AOE与∠DOE,∠AOE与∠BOC,∠DOE与∠DOC,∠DOC与∠BOC互为余角.
(3)∠AOE与∠EOB,∠AOD与∠DOB,∠AOC与∠BOC,∠EOD与∠AOC,∠DOC与∠EOB,∠AOD与∠EOC,∠BOD与∠EOC互为补角.
27．(1) 15°;(2) ∠CON=a;(3) ①见解析；②144°.
【分析】(1)根据角平分线的定义以及补角的定义,可求得∠CON的度数;
(2)可得∠CON=a;
(3) ①设∠AOM=a，可得，，可得∠AOM和∠CON的关系；
②由①知，，由∠AOC=3∠BON，可列方程，可得答案.
解：(1)由已知得∠BOM=180°－∠AOM=150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON－∠BOM=90°－×150°=15°.
(2)∠CON=a.
(3)设∠AOM=a，则∠BOM=180°－a，
①∠AOM=2∠CON.
理由如下：
∵OC平分∠BOM，
∴
∵
∴
∴
②由①知
∴
解得
∴.
【点拨】本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综合运用所学知识求解.
28．（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由见解析
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；
解：（1）若∠BOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°，
若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=90°+90°-135°=45°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD=40°；
（3）∠AOC与∠BOD互补，理由如下，
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
【点拨】本题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．
29．（1）①135°②40°（2）∠ACB与∠DCE互补（3）存在一组边互相平行
【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，当CE∥AD时，当EB∥CD时，当BE∥AD时，分别求得∠ACE角度．
解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACB＝90°+45°＝135°，
故答案为135°；
②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
故答案为40°；
（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
【点拨】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算.