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2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（理科）
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这是一份2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（理科），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A＝{x|lgx≤0}，集合B＝{x|(x−2)(2x+1)≤0}，则A∩B＝（ ）
A.{x|− ≤x≤1}B.{x|− ≤x≤2}
C.{x|− ≤x≤1}D.{x|0
2. 已知i为虚数单位，且z=i(1−i)，则复数z的共轭复数为（ ）
A.−1+iB.1−iC.1+iD.−1−i
3. 某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（ ）
A.800B.1000C.1200D.1500
4. 永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻．则共有（ ）种不同的排法．
A.480B.240C.384D.1440
5. “lg3a”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6. 已知等差数列{an}中，a1+a3+2a8＝4，则2•2•2……•2＝（ ）
A.32B.256C.512D.1024
7. (x+2)(1−2x)5的展开式中含x2的项的系数是（ ）
A.70B.80C.−50D.−70
8. 若实数x，y满足约束条件 ，则z＝x−3y的最大值是（ ）
A.2B.3C.4D.5
9. 下列函数中，既是奇函数，又在(0, 1)上单调递减的是（ ）
A.f(x)＝ln(ex+e−x)−ln(ex−e−x)
B.f(x)＝sinx+
C.f(x)＝ln(1+x)−ln(1−x)
D.f(x)＝ex−
10. 过正方体ABCD−A1B1C1D1顶点A作平面α，使α // 平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中点分别为E和F，则直线EF与平面α所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
11. 已知A、B分别是椭圆C： +y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是 −1，则P点的个数为（ ）
A.0B.2C.3D.4
12. 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离．已知正△ABC的顶点都在半径为2的球面上，球心到△ABC所在平面距离为 ，则A，B两点间的球面距离为（ ）
A.πB.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
已知点A(−1, 1)、B(1, 2)、C(−2, −1)、D(3, 4)，则向量与的夹角余弦值为________．
已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
双曲线C： ＝1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限）， ，•＝0，则双曲线C的离心率为________．
关于函数f(x)＝2sinx+sin2x有如下四个命题：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f(x)在[0, 2π]内有3个极值点；
③f(x)在[0, 2π]内有3个零点；
④f(x)的图象关于直线x＝ 对称
其中所有真命题的序号为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分
据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）．
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．
已知函数f(x)＝ sinxcsx−3cs2x+1．
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f(C)＝1，c＝ ，D为AB的中点，求CD的最大值．
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC＝60∘，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC＝1，AA1＝2．
（1）求证：A1C⊥平面ABC；
（2）若直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 ，求二面角A1−BB1−C的余弦值．
已知f(x)＝ax−xlna(a>0且a≠1)，g(x)＝x2．
（1）当0
（2）设h(x)＝f(x)+g(x)，存在x1、x2∈[−1, 1]使|h(x1)−h(x2)|≥e−1成立．求实数a的取值范围．
过点P(0, 2)作直线l交抛物线G:x2＝4y于A，B两点，O为坐标原点，分别过A、B点作抛物线G的切线，设两切线交于Q点．
（1）求证：点Q在一条定直线m上；
（2）设直线AO，BO分别交直线m于点C，D．
(Ⅰ)求证：S△AOB＝S△COD；
(Ⅱ)设△AOD的面积为S1，△BOC的面积为S2，记P＝S1+S2，求P的最小值．
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：θ＝φ与曲线C交于点T，将射线OT绕极点逆时针方向旋转90∘交曲线C于点N．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）求△TON面积的范围．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x−2|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f(x)≥4−x；
（2）a，b∈{y|y＝f(x)}，试比较2(a+b)与ab+4的大小．
参考答案与试题解析
2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵ z=i(1−i)=1+i，
∴ 复数z的共轭复数为1−i，
故选：B
3.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
等差数列的通项公式
【解析】
根据等差数列的性质求出a，b，c的关系，结合分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】
解：∵ a、b、c构成等差数列，
∴ a+c=2b，
则第二车间生产的产品数为ba+b+c×3600=b3b×3600=1200，
故选：C
4.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
球面距离及相关计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
4
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
①③
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分
【答案】
设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B，
则所求的概率为：P(B|A)…
所以P(B|A)＝＝＝，…
所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，
则他戴的是角膜塑形镜的概率是． …
依题意可知：其中男生人数X的所有可能取值分别为：0，1，2，…
其中：P(X＝0)＝＝＝；
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝，…
所以男生人数X的分布列为：
…
由已知可得：Y∼B(20, 0.08)
则：E(Y)＝np＝20×0.08＝4.6，D(Y)＝np(1−p)＝20×8.08×0.92＝1.472，
所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是2.6，方差是1.472
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由，k∈Z，
故f(x)递减区间[k，]，k∈Z，
由f(C)＝＝1）＝，
锐角△ABC中，C为锐角，
所以8C−∈(−），
所以2C−＝，即C＝，
由余弦定理得，a8＝，
，
又cs∠BDC＝−cs∠ADC，
故有：，
由3＝a6+b2−2abcsC＝a5+b2−ab≥＝(a4+b2)，（当a＝b时取等号）即：a2+b3的最大值为6．
所以：CD的最大值为．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：因为∠A1AC＝60∘，AC＝15＝2，由余弦定理得A1C＝＝，
所以A1A4＝A1C2+AC6，所以A1C⊥AC，又因为A1C⊥AB，
又因为AC∩AB＝A，所以A3C⊥平面ABC．
由已知和（1）得，CA、CA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A(1, 0, 2)，0，0)，t，4)，A1(0，6，），C1(−6，0，），B2(−1，t，），
＝(3，−t，＝(−1，4，），，−t，），
设平面BCC1B1和平面A8BB1的法向量分别为＝(x，y，＝(u, v, w,)，
，令z＝2，，0，8)，
，令w＝t，t，，t)，
直线BA5与平面BCC1B1所成角的正弦值为＝＝ ，
＝（，7，1)，，，1)，
所以二面角A1−BB8−C的余弦值为＝＝．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由已知f′(x)＝axlna−lna＝lna(ax−1)，
因为0所以lna<0，
由f′(x)>0得：f(x)增区间(8, +∞)，
由f′(x)<0得：f(x)减区间(−∞, 0)．
由已知：h(x)＝ax−xlna+x4，
设h(x)在[−1, 1]上的最大值为M，
依题意：M−m≥e−4，
因为h′(x)＝axlna−lna+2x，h′(0)＝0，
所以h″(x)＝ax(lna)3+2>0，
所以h′(x)为增函数
所以x>4时，h′(x)>0；
所以x<0时，h′(x)<3．
故m＝h(0)＝1，M＝max{h(−1)，
设u(a)＝h(1)−h(−7)＝a−−2lna，
因为u′(a)＝7+-＝≥0(a>0)，
所以u(a)在(8, +∞)上单调递增，
所以a>1时，u(a)>0，
所以3当a>5时，M−m＝a−lna，
设G(a)＝a−lna(a>1)，
所以G′(a)＝1−>0，
所以G(a)在(1, +∞)上递增，
又G(e)＝e−5所以由a−lna≥e−1得：G(a)≥G(e)⇔a≥e，
当08，
由+lna≥e−1得：G（≥e⇔0综上：a的取值范围是(0，]∪[e．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
将l:y＝kx+2代入G:x2＝3y得x2−4kx−8＝0，△＝16(k2+8)>0．
令A(x1, y6)，B(x2, y2)，则x6+x2＝4k，x4x2＝−8，
抛物线G在点A处的切线方程为：y−＝(x−x1)，即y＝（，
抛物线G在点B处的切线方程为：y−＝(x−x2)，即y＝（，
联立解得点Q的坐标为（，），即Q(2k．
所以，点Q在定直线m:y＝−2上．
(Ⅰ)将AQ:y＝（）x与m:y＝−2联立得C(−，
将BO:y＝（）x与m:y＝−2联立得D(−，
因为xC＝-＝xB，所以BC // y轴，同理AD // y轴，
所以BC // AD，所以△AOD∽△BOC，
所以＝，
即|OA|⋅|OB|＝|OC|⋅|OD|，
所以S△AOB＝S△COD．(1)|x6−x2|＝4，y1+y7＝k(x1+x2)+4＝4k2+2，
P＝S四边形ABCD−2S△OCD＝(|AD|+|BC|)⋅|CD|−2•
＝[(y5+2)+(y2+4)]•|CD|−2|CD|＝2(k3+1)|CD|＝8(k4+1)，
令t＝，则t≥2−1)(t≥），
因为f′(t)＝8(3t7−1)，
所以f(t)在[，+∞)上递增，
所以Pmin＝f（）＝8，
所以k＝4时，pmin＝8．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
曲线C的参数方程为 （α为参数），
根据转换为极坐标方程为．
由（1）知：曲线C的极坐标方程为，
设T(ρ1, α)N（），
所以，，
则：＝，
＝，
由于sin82α∈[0, 2]，
所以．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当x<−1时，f(x)＝1−2x，f(x)≥4−x即为1−2x≥4−x，解得x≤−3，即为x≤−3；
当−1≤x≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x即为3≥4−x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x>2时，f(x)＝2x−1，f(x)≥4−x即为2x−1≥4−x，解得x≥53，即为x>2．
综上可得，x≥1或x≤−3．
则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；
由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，
2(a+b)−(ab+4)＝2a−ab+2b−4＝(a−2)(2−b)，
由于a≥3，b≥3，则a−2>0，2−b<0，
即有(a−2)(2−b)<0，
则2(a+b)【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)对x讨论，当x<−1时，当−1≤x≤2时，当x>2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；
(Ⅱ)由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．
【解答】
当x<−1时，f(x)＝1−2x，f(x)≥4−x即为1−2x≥4−x，解得x≤−3，即为x≤−3；
当−1≤x≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x即为3≥4−x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x>2时，f(x)＝2x−1，f(x)≥4−x即为2x−1≥4−x，解得x≥53，即为x>2．
综上可得，x≥1或x≤−3．
则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；
由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，
2(a+b)−(ab+4)＝2a−ab+2b−4＝(a−2)(2−b)，
由于a≥3，b≥3，则a−2>0，2−b<0，
即有(a−2)(2−b)<0，
则2(a+b)0
1
8
P
1. 已知集合A＝{x|lgx≤0}，集合B＝{x|(x−2)(2x+1)≤0}，则A∩B＝（ ）
A.{x|− ≤x≤1}B.{x|− ≤x≤2}
C.{x|− ≤x≤1}D.{x|0
2. 已知i为虚数单位，且z=i(1−i)，则复数z的共轭复数为（ ）
A.−1+iB.1−iC.1+iD.−1−i
3. 某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（ ）
A.800B.1000C.1200D.1500
4. 永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻．则共有（ ）种不同的排法．
A.480B.240C.384D.1440
5. “lg3a
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6. 已知等差数列{an}中，a1+a3+2a8＝4，则2•2•2……•2＝（ ）
A.32B.256C.512D.1024
7. (x+2)(1−2x)5的展开式中含x2的项的系数是（ ）
A.70B.80C.−50D.−70
8. 若实数x，y满足约束条件 ，则z＝x−3y的最大值是（ ）
A.2B.3C.4D.5
9. 下列函数中，既是奇函数，又在(0, 1)上单调递减的是（ ）
A.f(x)＝ln(ex+e−x)−ln(ex−e−x)
B.f(x)＝sinx+
C.f(x)＝ln(1+x)−ln(1−x)
D.f(x)＝ex−
10. 过正方体ABCD−A1B1C1D1顶点A作平面α，使α // 平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中点分别为E和F，则直线EF与平面α所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
11. 已知A、B分别是椭圆C： +y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是 −1，则P点的个数为（ ）
A.0B.2C.3D.4
12. 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离．已知正△ABC的顶点都在半径为2的球面上，球心到△ABC所在平面距离为 ，则A，B两点间的球面距离为（ ）
A.πB.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
已知点A(−1, 1)、B(1, 2)、C(−2, −1)、D(3, 4)，则向量与的夹角余弦值为________．
已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
双曲线C： ＝1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限）， ，•＝0，则双曲线C的离心率为________．
关于函数f(x)＝2sinx+sin2x有如下四个命题：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f(x)在[0, 2π]内有3个极值点；
③f(x)在[0, 2π]内有3个零点；
④f(x)的图象关于直线x＝ 对称
其中所有真命题的序号为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分
据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）．
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．
已知函数f(x)＝ sinxcsx−3cs2x+1．
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f(C)＝1，c＝ ，D为AB的中点，求CD的最大值．
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC＝60∘，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC＝1，AA1＝2．
（1）求证：A1C⊥平面ABC；
（2）若直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 ，求二面角A1−BB1−C的余弦值．
已知f(x)＝ax−xlna(a>0且a≠1)，g(x)＝x2．
（1）当0
（2）设h(x)＝f(x)+g(x)，存在x1、x2∈[−1, 1]使|h(x1)−h(x2)|≥e−1成立．求实数a的取值范围．
过点P(0, 2)作直线l交抛物线G:x2＝4y于A，B两点，O为坐标原点，分别过A、B点作抛物线G的切线，设两切线交于Q点．
（1）求证：点Q在一条定直线m上；
（2）设直线AO，BO分别交直线m于点C，D．
(Ⅰ)求证：S△AOB＝S△COD；
(Ⅱ)设△AOD的面积为S1，△BOC的面积为S2，记P＝S1+S2，求P的最小值．
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：θ＝φ与曲线C交于点T，将射线OT绕极点逆时针方向旋转90∘交曲线C于点N．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）求△TON面积的范围．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x−2|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f(x)≥4−x；
（2）a，b∈{y|y＝f(x)}，试比较2(a+b)与ab+4的大小．
参考答案与试题解析
2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省某校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵ z=i(1−i)=1+i，
∴ 复数z的共轭复数为1−i，
故选：B
3.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
等差数列的通项公式
【解析】
根据等差数列的性质求出a，b，c的关系，结合分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】
解：∵ a、b、c构成等差数列，
∴ a+c=2b，
则第二车间生产的产品数为ba+b+c×3600=b3b×3600=1200，
故选：C
4.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
球面距离及相关计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
4
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
①③
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分
【答案】
设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B，
则所求的概率为：P(B|A)…
所以P(B|A)＝＝＝，…
所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，
则他戴的是角膜塑形镜的概率是． …
依题意可知：其中男生人数X的所有可能取值分别为：0，1，2，…
其中：P(X＝0)＝＝＝；
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝，…
所以男生人数X的分布列为：
…
由已知可得：Y∼B(20, 0.08)
则：E(Y)＝np＝20×0.08＝4.6，D(Y)＝np(1−p)＝20×8.08×0.92＝1.472，
所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是2.6，方差是1.472
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由，k∈Z，
故f(x)递减区间[k，]，k∈Z，
由f(C)＝＝1）＝，
锐角△ABC中，C为锐角，
所以8C−∈(−），
所以2C−＝，即C＝，
由余弦定理得，a8＝，
，
又cs∠BDC＝−cs∠ADC，
故有：，
由3＝a6+b2−2abcsC＝a5+b2−ab≥＝(a4+b2)，（当a＝b时取等号）即：a2+b3的最大值为6．
所以：CD的最大值为．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：因为∠A1AC＝60∘，AC＝15＝2，由余弦定理得A1C＝＝，
所以A1A4＝A1C2+AC6，所以A1C⊥AC，又因为A1C⊥AB，
又因为AC∩AB＝A，所以A3C⊥平面ABC．
由已知和（1）得，CA、CA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A(1, 0, 2)，0，0)，t，4)，A1(0，6，），C1(−6，0，），B2(−1，t，），
＝(3，−t，＝(−1，4，），，−t，），
设平面BCC1B1和平面A8BB1的法向量分别为＝(x，y，＝(u, v, w,)，
，令z＝2，，0，8)，
，令w＝t，t，，t)，
直线BA5与平面BCC1B1所成角的正弦值为＝＝ ，
＝（，7，1)，，，1)，
所以二面角A1−BB8−C的余弦值为＝＝．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由已知f′(x)＝axlna−lna＝lna(ax−1)，
因为0
由f′(x)>0得：f(x)增区间(8, +∞)，
由f′(x)<0得：f(x)减区间(−∞, 0)．
由已知：h(x)＝ax−xlna+x4，
设h(x)在[−1, 1]上的最大值为M，
依题意：M−m≥e−4，
因为h′(x)＝axlna−lna+2x，h′(0)＝0，
所以h″(x)＝ax(lna)3+2>0，
所以h′(x)为增函数
所以x>4时，h′(x)>0；
所以x<0时，h′(x)<3．
故m＝h(0)＝1，M＝max{h(−1)，
设u(a)＝h(1)−h(−7)＝a−−2lna，
因为u′(a)＝7+-＝≥0(a>0)，
所以u(a)在(8, +∞)上单调递增，
所以a>1时，u(a)>0，
所以3
设G(a)＝a−lna(a>1)，
所以G′(a)＝1−>0，
所以G(a)在(1, +∞)上递增，
又G(e)＝e−5所以由a−lna≥e−1得：G(a)≥G(e)⇔a≥e，
当0
由+lna≥e−1得：G（≥e⇔0
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
将l:y＝kx+2代入G:x2＝3y得x2−4kx−8＝0，△＝16(k2+8)>0．
令A(x1, y6)，B(x2, y2)，则x6+x2＝4k，x4x2＝−8，
抛物线G在点A处的切线方程为：y−＝(x−x1)，即y＝（，
抛物线G在点B处的切线方程为：y−＝(x−x2)，即y＝（，
联立解得点Q的坐标为（，），即Q(2k．
所以，点Q在定直线m:y＝−2上．
(Ⅰ)将AQ:y＝（）x与m:y＝−2联立得C(−，
将BO:y＝（）x与m:y＝−2联立得D(−，
因为xC＝-＝xB，所以BC // y轴，同理AD // y轴，
所以BC // AD，所以△AOD∽△BOC，
所以＝，
即|OA|⋅|OB|＝|OC|⋅|OD|，
所以S△AOB＝S△COD．(1)|x6−x2|＝4，y1+y7＝k(x1+x2)+4＝4k2+2，
P＝S四边形ABCD−2S△OCD＝(|AD|+|BC|)⋅|CD|−2•
＝[(y5+2)+(y2+4)]•|CD|−2|CD|＝2(k3+1)|CD|＝8(k4+1)，
令t＝，则t≥2−1)(t≥），
因为f′(t)＝8(3t7−1)，
所以f(t)在[，+∞)上递增，
所以Pmin＝f（）＝8，
所以k＝4时，pmin＝8．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
曲线C的参数方程为 （α为参数），
根据转换为极坐标方程为．
由（1）知：曲线C的极坐标方程为，
设T(ρ1, α)N（），
所以，，
则：＝，
＝，
由于sin82α∈[0, 2]，
所以．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当x<−1时，f(x)＝1−2x，f(x)≥4−x即为1−2x≥4−x，解得x≤−3，即为x≤−3；
当−1≤x≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x即为3≥4−x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x>2时，f(x)＝2x−1，f(x)≥4−x即为2x−1≥4−x，解得x≥53，即为x>2．
综上可得，x≥1或x≤−3．
则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；
由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，
2(a+b)−(ab+4)＝2a−ab+2b−4＝(a−2)(2−b)，
由于a≥3，b≥3，则a−2>0，2−b<0，
即有(a−2)(2−b)<0，
则2(a+b)
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
(Ⅰ)对x讨论，当x<−1时，当−1≤x≤2时，当x>2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；
(Ⅱ)由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．
【解答】
当x<−1时，f(x)＝1−2x，f(x)≥4−x即为1−2x≥4−x，解得x≤−3，即为x≤−3；
当−1≤x≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x即为3≥4−x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x>2时，f(x)＝2x−1，f(x)≥4−x即为2x−1≥4−x，解得x≥53，即为x>2．
综上可得，x≥1或x≤−3．
则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；
由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，
2(a+b)−(ab+4)＝2a−ab+2b−4＝(a−2)(2−b)，
由于a≥3，b≥3，则a−2>0，2−b<0，
即有(a−2)(2−b)<0，
则2(a+b)
1
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