考点6.1　数列的概念及其表示（解析版）练习题

6.1　数列的概念及其表示

【基础集训】

考点　数列的概念及其表示

1.数列1,,,,,…的一个通项公式an=(　　)

A.　　　　　B.                         C.　　　　　D.

【答案】　B

2.已知数列{an}满足:∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=,那么a5=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　A

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 017=(　　)

A.2 016　　　B.2 017　　　C.4 032　　　D.4 034

【答案】　B

4.在数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),则a2 018的值为(　　)

A.-　　　B.5　　　C.　　　D.

【答案】　B

5.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(　　)

A.2 017n-m　　　　　B.n-2 017m　　　C.m　　　　　D.n

【答案】　C

【综合集训】

考法一　利用Sn与an的关系求通项公式

1.若数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=3n-2,那么这个数列的通项公式为(　　)

A.an=2×3n-1　　　　　B.an=3×      C.an=3n-2　　　　　D.an=

【答案】　D

2.已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,有=1成立,则S2 017=　　　　. 

【答案】　

考法二　由递推关系求数列的通项公式

3.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17=(　　)

A.-15×216　　　　　B.15×217　　　

C.-16×216　　　　　D.16×217

【答案】　A

4.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),则an的通项公式为(　　)

A.an=　　　B.an=　　　C.an=　　　D.an=

【答案】　B

5.已知数列{an}的首项a1=35,且满足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),则的最小值为(　　)

A.2　　　B.　　　C.　　　D.12

【答案】　C

6.设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)

A.　　　B.　　　C.3　　　D.

【答案】　B

考法三　数列的单调性和最大(小)项

7.设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*).

(1)求a1,a2;

(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大项,并写出取最大项的项数.

【解析】　(1)∵数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,解得a1=,a2=.

(2)由数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),得n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=n-1-an-1,

相减可得an=1-an+an-1,可得an-1=(an-1-1)(n≥2),

∴数列{an-1}是等比数列,公比为,首项为-.

∴an-1=-(n∈N*),

∴bn=n(2-n)(an-1)=n(n-2)×.

bn+1-bn=(n+1)(n-1)×-n(n-2)×=,令bn+1-bn>0,解得2-<n<2+.

∴b1<b2<b3<b4>b5>b6>…>bn.∴b4是最大项,b4=.

考点　数列的概念及其表示

1.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　. 

【答案】　-63

2.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　. 

【答案】　-

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　. 

【答案】　

4.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 

【答案】　1;121

考点　数列的概念及其表示

1.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　　　. 

【答案】　(-2)n-1

2.已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N*).

(1)证明:1≤≤2(n∈N*);

(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).

【证明】　(1)由题意得an+1-an=-≤0,即an+1≤an,故an≤.

由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.

由0<an≤得==∈[1,2],即1≤≤2.

(2)由题意得=an-an+1,所以=-,

Sn=a1-an+1.①

由=-和1≤≤2得1≤-≤2,

所以n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*).②

由①②得≤≤(n∈N*).

模拟预测

一、单项选择题(每题5分,共35分)

1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　A

2.已知数列{an}满足a1=2,2anan+1=+1,设bn=,则数列{bn}是(　　)

A.常数列　　　B.摆动数列　　　C.递增数列　　　D.递减数列

【答案】　D

3.已知数列:,,,,,,,,,,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2 018项a2 018等于(　　)

A.　　　B.　　　C.64　　　D.

【答案】　D

4.已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3)　　　B.(1,2]　　　C.(2,3)　　　D.

【答案】　C

5.已知数列{an}各项均为整数,共有7项,且满足|ak+1-ak|=1,k=1,2,…,6,其中a1=1,a7=a(a为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a的值为(　　)

A.1　　　B.3　　　C.5　　　D.7

【答案】　B

6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则a8=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【答案】　A

7.数列{an}满足a1=,an+1=-an+1(n∈N*),则m=++…+的整数部分是(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

【答案】　B

二、多项选择题(每题5分,共10分)

8.数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则有(　　)

A.Sn=4n-1　　　　　B.{Sn}为等比数列

C.an=3×4n-1　　　　　D.an=

【答案】　ABD

9.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}满足bn=2log2an+1.记Sn=b1+b2+…+bn,若对任意n∈N*,都有≤成立,则正整数k的值为(　　)

A.5　　　B.4　　　C.2　　　D.3

【答案】　CD

三、填空题(每题5分,共10分)

10.已知数列{an}满足:an=1-,且a1=2,则a2 019=　　　　. 

【答案】　

11.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn.满足a1=2,3Sn=(n+m)an(m∈R),且anbn=n,若存在n∈N*,使得λ+Tn≥T2n成立,则实数λ的最小值为　　　　. 

【答案】　

四、解答题(共25分)

12.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.

(1)求a2,a3;

(2)求{an}的通项公式.

【解析】　(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,

解得a2=3a1=3.由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,

解得a3=(a1+a2)=6.

(2)由题设知,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,

整理得=,

因此··…··=··…··,

化简得an=·a1=,

当n=1时,a1=1满足上式,

所以{an}的通项公式为an=(n∈N*).

13.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设cn=1-(n∈N*),定义所有满足cm·cm+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数.

【解析】　(1)依题意,知Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以Sn=n2-4n+4.当n=1时,a1=S1=1-4+4=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.所以an=

(2)由题意得cn=

由cn=1-(n≥2)可知,当n≥5时,恒有cn>0.

又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-,c5=,c6=,所以c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0,所以数列{cn}的变号数为3.