第2讲 基本初等函数、函数的应用（解析版）练习题

第2讲  基本初等函数、函数的应用

【题型精讲】

题型一：基本初等函数的图象和性质

1．（2021·重庆八中高三月考）已知关于x的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

时，即无解，显然不符合题意；

时，令，则原方程等价于，即，令，

则与直线有3个不同的交点.

二次函数的根为a和0，

若时，显然时，，且单调递增，即单调，不可能与直线有3个不同的交点

若时，作出的草图如图所示，

又，则只需满足，得.

故选：D．

2．（2021·辽宁实验中学高三月考）函数的图象是（    ）

A． B． C．D．

【答案】B

【详解】

函数中，定义域为.

当时，，根据对数函数的图象可知，CD错误；

又，故是奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确.

故选：B.

3．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高三月考）函数的图象大致为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【详解】

详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

4．（2021·吉林长春·高三月考（理））已知函数在单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

是增函数，

在上递减，在递增，

因此在上递减，则有，解得．

故选：A．

5．（2021·河南·高三月考（理））设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，∵，∴，

设，则，

则在区间上，，为增函数，在区间上，，为减函数，

∴，即，∴，

又∵，∴，∴，∴.

故选：D．

6．（2021·江西赣州·高三期中（理））函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，

当且仅当，即时等号成立，

所以的值域是．

故选：B．

7．（2021·全国·高三月考）已知函数，实数满足：则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增．

又，所以到直线的距离大于到直线的距离，

所以，即，

所以，，解得，

故选：D．

8．（2021·福建晋江·高三月考）函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C．（1，3） D．（-1，1）

【答案】D

【详解】

由，解得，所以的定义域为.

二次函数的开口向下，对称轴为.

所以在区间上递增，在区间上递减.

在区间上递增.

根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为

故选：D

题型二：函数模型的实际应用

1．（2021·四川资阳·高三月考（理））三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其出土文物是宝贵的人类文化遗产，在人类文明发展史上占有重要地位．2021年，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址的重大考古发现再一次惊艳世界．为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算（碳测年法是根据碳的衰变程度计算出样品的大概年代的一种测量方法）．2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存材料的碳含量衰减为原来的一半）．以此推算出该文物大致年代是（    ）

（参考数据：，）

A．公元前1600年到公元前1500年 B．公元前1500年到公元前1400年

C．公元前1400年到公元前1300年 D．公元前1300年到公元前1200年

【答案】B

【详解】

设时间经过了年，则，即，

.

.

故选：B.

2．（2021·山东师范大学附中高三月考）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于，小于的驾驶行为为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过（    ）小时才能驾驶.（参考数据，）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【详解】

设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，，

又为减函数，

，

他至少经过5个小时才能驾驶汽车，

故选：B

3．（2021·云南大理·模拟预测（理））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（参考数据：）（    ）

A．8 B．7 C．6 D．7

【答案】C

【详解】

由题意知：分钟，

故选：C.

4．（2021·广东肇庆·模拟预测）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度达到第一宇宙速度（千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，，代入可得

故

故选：A

5．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高（    ）

（附：）

A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍

【答案】B

【详解】

，

，

所以，

，

所以，所以，即大约提高9倍.

故选：B.

6．（2021·全国·高三专题练习）“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时．

A．72 B．36 C．24 D．16

【答案】A

【详解】

当时，；当时，，

则，整理可得，于是，

当时，．

故选：A.

题型三：函数的零点及应用

1、确定函数零点的个数或者存在区间

1．（2021·北京十五中高三期中）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B.

【详解】

对于A，为减函数，故A错误；

对于B，为增函数，且时，，时，函数在区间内有零点，故B正确；

对于C，，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；

对于D，为增函数，时，，时，函数在区间内没有零点，故D错误.

故选：B

2．（2021·天津二中高三期中）已知函数，则的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

∵，，

由得，，∴，函数为增函数，

当时，，又，

故的零点所在的区间是.

故选：B

3．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为为单调递增函数，

当时，，

当时，，

当时，，

由于，且的图象在上连续，

根据零点存在性定理，在上必有零点，

故选：B.

4．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由函数的解析式可知，当时，单调递增，；当时，单调递减，.

函数的大致图象如下，故的最大值为，结合图象可得.

故选：B

5．（2021·四川成都·高三月考（文））关于的方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

设，所以有两个大于的不等实数根，

则，

解得.

所以实数的取值范围是.

故选：B

6．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数若关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

等价于，

函数的图象如图，因为的图象与有且仅有一个交点，

即有两个实数解，所以，

故选:B.

2、根据函数的零点求参数的取值范围

1．（2021·全国·高三月考）若函数存在零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由得，

令，

因为函数存在零点，则与图象有交点，如图所示：

由化简得，

只要满足即可，

解得或

故选：D

2．（2021·北京市第十二中学高三月考）已知，函数，函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由于恰有个零点，结合图象可知，时，有两个零点.

故选：B

3．（2021·江苏省上冈高级中学高三月考）若曲线与轴有且只有2个交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【详解】

作出函数与的图象，

令，即，故，

令，即或，故或,

当时，只有B一个零点；当时，有A,B两个零点；当时， 有A一个零点；当时，有A,C两个零点；

综上，实数的取值范围是：或，

故选：D.

4．（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，

所以，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：B

5．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

当时，，故不是方程的根，

当时，由得，，

方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，

作出函数的大致图像如图所示，

由图可知，或.

故选：C.

6．（2021·全国·高三专题练习）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，

函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，

x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，

在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：

而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.

故选：A

【课后精练】

一、单选题

1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数，则函数的零点个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【详解】

由函数解析式

由图可知，函数的零点的个数为2个．

故选：．

2．（2021·北京十五中高三期中）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A，为减函数，故A错误；

对于B，为增函数，且时，，时，函数在区间内有零点，故B正确；

对于C，，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；

对于D，为增函数，时，，时，函数在区间内没有零点，故D错误.

故选：B

3．（2021·广东龙岗·高三期中）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，为的图象，要使有两不同实数根，即与有两不同交点，故.

故选：C

4．（2021·天津二中高三期中）已知函数，则的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

∵，，

由得，，∴，函数为增函数，

当时，，又，

故的零点所在的区间是.

故选：B

5．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为为单调递增函数，

当时，，

当时，，

当时，，

由于，且的图象在上连续，

根据零点存在性定理，在上必有零点，

故选：B.

6．（2021·湖北·襄阳五中高三月考）下列函数在上单调递增且存在零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，在上单调递减，不合题意，A错误；

对于B，令，方程无解，不合题意，B错误；

对于C，在上单调递减，不合题意，C错误；

对于D，与在上均单调递增，在上单调递增；

令，解得：，则在上存在零点，D正确.

故选：D.

7．（2021·北京育才学校高三月考）函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由函数，显然函数在为减函数，

又，， ，

.

故选：C.

8．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数，，若方程有4个实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

令，则，

方程有4个实数根等价于在上有2个实数根，

即当时，函数的图象与的图象有2个交点，

作出与的图象，如图：

由图象可知，当时，函数的图象与的图象有2个交点，

所以方程有4个实数根时实数的取值范围为

故选：D

二、多选题

9．（2021·全国·高三月考）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的一个周期为 B．

C．当时， D．函数在内有个零点

【答案】AC

【详解】

是定义在上的偶函数，对，均有，

故函数的周期为，故选项A正确；

，故选项B错误；

当时，，则，故选项C正确；

易知，

于是函数在内有个零点，故选项D错误，

故选：AC．

10．（2021·福建省长汀县第一中学高三月考）已知函数满足：当时，，当时；当时，（，且）.若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（    ）

A．为周期函数

B．的值域为

C．实数的取值范围为

D．实数的取值范围为

【答案】BC

【详解】

根据题意，依次分析选项：

对于A中，当时，不是周期函数，所以A错误；

对于B中，当时，，此时函数的值域为，

所以函数的值域为，所以B正确；

对于C中，当时，，且当时，，

作出函数在上的部分图象关于原点对称，

若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，

则函数的图象与所作的图象至少有三个交点，

必有，解得，所以C正确，D不正确.

故选：BC.

11．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

解：对于A：无解，所以A不满足；

对于B：，解得：或，所以B满足题意；

对于C：，解得：，所以C满足题意；

对于D：，在同一直角坐标系下画出函数以及的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D满足题意；

故选：BCD.

12．（2021·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．的值域为

B．当时，

C．图象的对称轴为直线

D．方程恰有5个实数解

【答案】ABD

【详解】

根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；

根据周期为，当时，，故B正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．（2021·山东烟台·高三期中）已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【详解】

有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意

故答案为：

14．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数的零点，则__________．

【答案】-3或2

【详解】

对函数求导得：，由得，解得，

当时，，当时，，于是得在上递减，在上递增，

显然，，则函数在区间上存在一个零点，

又，即函数在区间上存在一个零点，

因函数的零点，则或，

所以或.

故答案为：-3或2

15．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【详解】

因为关于方程有且只有3个实数根，

设，

得到函数与的图象有且只有3个交点.

当时，，

所以；

当时，；

当时，，

所以，

所以如图所示：

因为函数与的图象有且只有3个交点，

所以或或.

故答案为：.

16．（2021·浙江金华·高三月考）设函数已知不等式的解集为，则______，若方程有3个不同的解，则m的取值范围是________．

【答案】0       

【详解】

由，得；

由得或；由得；

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

因此，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值；

由可得或；

在同一直角坐标系中，作出函数与的大致图象如下，

由图象可得，当时，；

因为，为使不等式的解集为，

结合图象可知，只有；

所以

因为方程有3个不同的解，等价于函数与直线有三个不同的交点，

作出函数的大致图象如下：

由图象可得，；

故答案为：；.