中考数学专题（含答案）：02二次函数综合应用

这是一份中考数学专题（含答案）：02二次函数综合应用，共18页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，直线与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC，抛物线经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。
（1）球抛物线的解析式。
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+ PC的和最小。求出点P的坐标。
2.如图，已知二次函数的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
3.如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
(1)求点P，C的坐标；
(2)直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，已知二次函数的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
6.如图，直线与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC，抛物线经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。
（1）球抛物线的解析式。
（2）在y轴上是否存在一点G，似的 的值最大？若存在，求出点G的左边；若不存在，请说明理由。
7.已知顶点为A抛物线经过点，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若，求△POE的面积；
(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到，若点落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
参考答案
一、解答题（共有7道小题）
1.（1）解：把y=0代入，得x=-1，所以A(-1，0)
由OA=OC可得C(0，-1)
将B(4，m)代入可得m=5，所以B(4，5)
所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入可得
，解得 ，进而，
（2）
所以，函数的对称轴为直线，点A(-1，0)关于直线的对称点为A’(2，0)。A’C与直线的交点即为点P。
设A’C所在直线解析式为，进而可得
当时
所以，点P的坐标为
2.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析是为；
(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C(0，3)，
∴E(0，)，
∴点P的纵坐标，
当y＝时，即，
解得，(不合题意，舍)，
∴点P的坐标为(，)；
(3)如图2，
P在抛物线上，设P(m，－m2＋2m＋3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y＝－x＋3，
设点Q的坐标为(m，－m＋3)，
PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m．
当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
OA＝1，
AB＝3－(－1)＝4，
＝AB•OC＋PQ•OF＋PQ•FB
＝×4×3＋(－m2＋3m)×3
＝，
当m＝时，四边形ABPC的面积最大．
当m＝时，－m2＋2m＋3＝，即P点的坐标为(，)．
当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为．
3.解：(1)将A，B，C代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式y＝x2－2x－3；
(2)设BC的解析式为y＝kx＋b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
BC的解析式为y＝x－3，
设M(n，n－3)，P(n，n2－2n－3)，
PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－)2＋，
当n＝时，PM最大＝；
②当PM＝PC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2，
解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝3，
n2－2n－3＝－0，
P(3，0)．
当PM＝MC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2，
解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3－，n3＝3＋(不符合题意，舍)，
n2－2n－3＝2－4，
P(3－，2－4)；
综上所述：P(3－，2－4)．
4.解：(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，
∴顶点P(3，4)，
令x＝0得到y＝－5，
∴C(0．－5)．
(2)令y＝0，x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5，
∴A(1，0)，B(5，0)，
设直线PC的解析式为y＝kx＋b，则有，
解得，
∴直线PC的解析式为y＝3x－5，设直线交x轴于D，则D(，0)，
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD＝，
∴BE＝，
∴E(，0)或E′(，0)，
则直线PE的解析式为y＝－6x＋22，
∴Q(，－5)，
直线PE′的解析式为y＝－x＋，
∴Q′(，－5)，
综上所述，满足条件的点Q(，－5)，Q′(，－5)．
5.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析是为；
(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C(0，3)，
∴E(0，)，
∴点P的纵坐标，
当y＝时，即，
解得，(不合题意，舍)，
∴点P的坐标为(，)；
(3)如图2，
P在抛物线上，设P(m，－m2＋2m＋3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y＝－x＋3，
设点Q的坐标为(m，－m＋3)，
PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m．
当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
OA＝1，
AB＝3－(－1)＝4，
＝AB•OC＋PQ•OF＋PQ•FB
＝×4×3＋(－m2＋3m)×3
＝，
当m＝时，四边形ABPC的面积最大．
当m＝时，－m2＋2m＋3＝，即P点的坐标为(，)．
当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为．
6.（1）解：把y=0代入，得x=-1，所以A(-1，0)
由OA=OC可得C(0，-1)
将B(4，m)代入可得m=5，所以B(4，5)
所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入可得
，解得 ，进而，
（2）连接BD并延长，交y轴于点G，则点G即为所求。
设BD所在直线解析式为，代入B(4，5)，D(2，0)进而可得。
当x时
所以，存在这样的点G(0，-5)
7.解：(1)把点代入，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：；
(2)由知A(，－2)，
设直线AB解析式为：y＝kx＋b，代入点A，B的坐标，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝－2x－1，
易求E(0，1)，，，
若∠OPM＝∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴，
设点P(t，－2t－1)，则：
解得，，
由对称性知；当时，也满足∠OPM＝∠MAF，
∴，都满足条件，
∵△POE的面积＝•OE•|t|，
∴△POE的面积为或．
(3)若点Q在AB上运动，如图1，
设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a、QN＝－2a，
由翻折知QN′＝QN＝－2a、N′E＝NE＝－a，
由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴，即＝2，
∴QR＝2、ES＝，
由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2，
解得：a＝－，
∴Q(－，)；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，
设NE＝a，则N′E＝a，
易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，
∴QR＝、SE＝－a，
在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，
解得：a＝，
∴Q(－，2)；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，
设NE＝a，则N′E＝a，
易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，
∴QR＝、SE＝－a，
在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，
解得：a＝，
∴Q(，2)．
综上，点Q的坐标为(－，)或(－，2)或(，2)．