高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

课

题

导

入

前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法

可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。

三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。

新概念教学

我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。

设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，

为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).

（使用多媒体课件，教师边叙述边作图).

在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.

显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值.

当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：

如果x＞0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.

如果ｙ＞0，把MP看作与ｙ轴同向，规定此时MP具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP看作与ｙ轴反向，规定此时MP具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP与ｙ轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段

于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有

这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.

类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有

这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.

注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.

(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.

(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.

(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.   

正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.

充分发挥多媒体教学的优势，既有教师的动画演示，又有教师与学生之间的互动，尽可能多的调动学生的积极性，多动手，多思考，多探索，多尝试。

1、用现实中的例子引入本节内容，学生不仅可以看到三角函数还可以用一条（有向）线段表示，而且可以感受到数学知识在现实生活中的巨大作用，从而激发他们学习数学的浓厚兴趣。

2、单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。

3、单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。

4、结合图形，引导学生弄清以下几点：

（1）三角函数线的位置；

（2）三角函数线的方向；

（3）三角函数线的正负；

例题讲解

例题：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线。

因此在教学时仍以教师画图演示、讲解为主，同时更多的请学生参与作图，加深印象。

此例题主要目的还是进一步巩固学生对于三角函数线的理解，

课堂练习

分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：

（1）（2）

（3）（4）

在前面详细讲解的基础上，此题主要是学生完成，鼓励学生独立完成，对于个别有困难的学生，可以小组为单位共同完成。

加深理解三角函数线的有关知识。

课时小结

本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.

以提纲形式对本节重点内容再总结。

学习单位圆的目的在于利用它解决问题，在教学中，应尽量引导学生借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质，这样，不仅有助于加深对于三角函数线的理解，对后续内容的学习也有很大的促进作用。

课后作业

课本第21页A组练习2

本次作业只针对三角函数线知识进行巩固，因此，要求学生保质保量认真完成。

落实本课时的重点，突破难点，抓落实。