高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案及反思

河北省抚宁县第六中学高中数学必修4教案：任意角的三角函数2

教学目标 知识

与技能 1．理解并掌握有向线段的概念；

2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

 过程

与方法 画出正弦线，余弦线，正切线，观察体会

 情感态度价值观 培养数形结合思想

重   点 正弦、余弦、正切函数值的几何表示.

难   点 正弦、余弦、正切函数值的几何表示.

关   键 正切线的正确画法

教学方法

及课前准备 

教学流程 多媒体辅助

教学内容

一、问题情境

1．情境引入：我们已学过任意角三角函数，给出了任意角的正弦、余弦、正切的定义.

2．提出问题：能不能用几何元素表示三角函数值？例如，能不能用线段表示三角函数值？

二、学生活动

学生思考，讨论，回答.讨论可能沿着下面的方向进行：

1.通过联想，可以提出

问题1：在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否可以也看成是线段的比呢？

2.明确问题，可以提出

问题2：问题1的实际意义是什么？什么叫做三角函数？任意角的三角函数是怎样定义的？

由此可以进一步明确问题1的意义.具体地，以正弦函数为例，当前的问题就是怎样用几何元素表示.（这里的是角终边上任一点的坐标）

2.简化问题，可以提出

问题3：能进一步简化问题吗？是否可以在角的终边上取一个特殊点，使得三角函数值的表达式更为简单？

结论是，当点在以原点为圆心，半径为1的圆（单位圆）上时，，而的函数值分别为点的纵坐标和横坐标.

三、建构数学

1.有向线段

（1）提出解决问题1的关键就这样解决

问题4：怎样表示点的纵，横坐标？能不能用线段表示坐标？

围绕着如下问题进行讨论：

问题5：坐标是什么？

问题6：能不能用线段表示坐标？能不能用线段表示数？怎样才能做到这点？

问题7：和初中的锐角三角函数相比，我们现在面临的情况有什么不同？

通过讨论，得到以下共识：为了用线段表示数，我们需要规定线段的方向.

（2）给出有向线段、有向线段的数量、有向线段的长度的概念.

下图轴上，的数量分别是多少？

有向线段的数量：.

2.正弦线和余弦线

（1）问题8：怎样用有向线段表示正弦函数值？

围绕着问题8，作出表示正弦值的有向线段，得到正弦线的概念.

（2）由学生仿照正弦线，得到余弦线.

.

有向线段分别叫做角的正弦线、余弦线.

小结：我们已经得到角的正弦线、余弦线、正切线，它们都是与单位圆的弦有关的线段.

3.正切线

（1）探索讨论

问题9：能不能用有向线段表示角的正切呢？

问题10：正切函数值是怎样定义的？怎样才能简化定义中的表达式？这个表达式和正弦函数值的表达式有什么不同？怎样才能使表达式的分母为1？

（2）先解决问题的一部分

当角的终边上存在横坐标为1的点时（这时角的终边在轴的右侧），怎样用有向线段表示正切函数值？

（3）再解决剩余的问题.

当角的终边上不存在横坐标为1的点时（这时角的终边在轴的左侧），怎样用有向线段表示正切函数值？

通过讨论，得到下面的结论.

（4）正切线

正切线一般可按如下方法作出：如下图所示，过点作单位圆的切线（轴的垂线），它与角终边所在直线交于点，则有向线段即为角的正切线.

，因此，我们把有向线段叫做角的正切线.

3.三角函数线：

课堂同步练习：

练习：可以讨论课本P16练习第7题.

例1．比较下列各组数的大小：

（1）和                             （2）和

（3）和                         （4）和

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的的绝对值.比较两个三角函数值的大小可以借助三角函数线

思考：根据单位圆中三角函数线，探究：

（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；

（2）正弦函数、余弦函数在区间上的单调性；

（3）正切函数在区间上的单调性

课堂要求学生掌握的内容：五、总结反思

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现，我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确.

板书

设计 

课后

作业 课本P23习题1.2第2题.

课后

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与

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