高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第一课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第一课时教案，共13页。教案主要包含了内容和内容解析，六．，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学支持条件分析，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

1.内容
诱导公式五、六．
2.内容解析
本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式五和公式六，是三角函数的主要性质．前面学生已经学习了诱导公式一到四，在此基础上继续学习公式五和公式六，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于直线，y轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体．诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用．
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°到90°角的三角函数值．诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用．
本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性，发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．
（2）通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式．
（2）会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简．
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一到四，这些内容是学生理解、归纳公式五和公式六的基础．“探究2”与“探究1”相比，采用的研究方法一样，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度，体现在以下两个方面：
第一，终边关于直线对称的两个角之间的关系．角的终边与角的终边关于直线对称，那么，这个结论需要分多种情况，穷举证明．
第二，直角坐标系中关于直线对称的两个点的坐标之间的关系．
点与点关于直线对称，那么，．这个结论，需要学生证明之后才能应用．由于角是任取的，根据其终边位置分类，至少要对8种情况进行证明，其严谨简洁的证明需要在解析几何中完成，简单易证．教学时，按照教科书的处理方式，针对图5.3-5进行论证，并结合图形作直观分析即可．
“探究3”与前面两个探究相比，采用的研究方法一样，对称轴是y轴，其推导简单易行，不同之处在于，教科书选择了点，而不是点，学生可能会感到突然．事实上，可以引导学生进行更进一步的探索，探究1和探究2中对作了一次对称变换，对于探究3可以通过对作两次变换解决．通过对比发现，探究3所用的方法，体现了数学的简洁美．
四、教学支持条件分析
本节课的教学重点是利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与发现圆的对称性与三角函数之间的关系，缩减认识、理解诱导公式的时间．
五、教学过程设计
引导语：在前面，我们利用圆的对称性，研究了得到了三角函数的公式二到公式四．这节课，我们将继续研究三角函数的对称性．
（一）公式五
探究2：在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交点，作点关于直线对称点，
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）与的坐标之间有什么关系？你能证明吗？
（3）角与角的三角函数值之间有什么关系？
师生活动：给出问题后，学生先独立思考，然后教师使用信息技术进行演示并讲解．
（1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
（2）如果在第一象限，如图，其关于对称的点，过作轴，过作轴，
则有，
，，
所以，
所以，，
即，．
同理可以证明的其他情况．
（3）根据三角函数的定义，得
，，
所以，（公式五）．
设计意图：“探究2”与第一课时的“探究1”一脉相承，研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度．将难点细化为问题串，引导学生逐个攻破，经历推导公式的过程，培养了学生的化归思想．
（二）公式六
探究3：作关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）角的终边与角的终边具有怎样的关系？
（3）与的坐标之间有什么关系？
（4）角与角的三角函数值之间有什么关系？与角的三角函数值之间又有什么关系？
师生活动：给出问题后，学生先独立思考，然后教师使用信息技术进行演示并讲解．
（1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即．只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
（2）旋转角度：角的终边逆时针旋转角，就得到角的终边．
轴对称角度：角的终边首先关于直线作对称，再关于y轴作对称，就得到的终边；或者角的终边首先关于x轴作对称，再关于直线作对称，也可以得到的终边．即为得到，对需作两次对称变换，而对只需要作一次对称变换，体现了数学的简洁美，我们可以以为桥梁，探究角与角之间的关系．
（3）通过观察易得：，．
（4）由于，，
所以，，
因此，（公式六）．
设计意图：“探究3”与前面两个探究相比，采用的研究方法一样，对称轴是y轴，其推导简单易行，这里选择了对点作对称，而不是点，通过引导学生进行更进一步的探索，探究1和探究2中对作了一次对称变换，对于探究3可以通过对作两次变换解决．通过对比发现，探究3所用的方法，感受数学的简洁美．
公式五、六可以概括如下：的正弦（余弦）函数值，等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
（三）公式一～公式六总结
公式一～公式六可以总结为：
的三角函数值，
（1）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号．
可以概括为：“奇变偶不变，符号看象限，象限怎么判，锐角看”：
例如，将写成因为1是奇数，则余弦函数符号“”变为正弦函数符号“”，又将看作第一象限角时，是第二象限角，符号为“”，故有．
（四）求任意角的三角函数值的步骤
求任意角的三角函数值的步骤可以完善如下图：
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～公式六都叫做诱导公式．利用诱导公式可以进行简单的证明、化简和求值．
例1证明：
（1）；
（2）．
证明：（1）；
（2）．
例2化简
．
解：原式

．
例3已知，且，求的值．
分析：联系条件与结论，注意到，由此可利用诱导公式解决问题．
解：因为，所以由诱导公式五，得
因为，
所以．
由，得．
所以，
所以．
设计意图：三道例题，分别是证明、化简、求值．在三道例题的求解过程中，进一步巩固和完善了教科书中的流程图．例5的分析旨在引导学生形成代数问题的程序化思维，体现了转化的数学思想方法，通过例题形成解决一类问题的思维方法．
练用诱导公式求下列三角函数值．
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）．
练证明：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
证明：（1；
（2）方法一：
；
方法二：
（3）；
（4）．
练化简：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
练求值：已知，且，求和的值．
解：因为，，
所以，
，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
．
（五）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容．
师生活动：引导学生完成本节课的梳理．
设计意图：引导学生从诱导公式到归纳口诀，加深学生对诱导公式的理解，回顾求任意角的三角函数值的步骤，加强诱导公式的应用．
（六）布置作业
教材194页——习题5.3
1．复习巩固1，2，3，4．
2．综合应用8．
六、目标检测设计
1．．
2．已知是第四象限角，且，则．
设计意图：第1题主要考查学生对诱导公式的理解程度，以及运算求解能力；第2题主要考查学生对三角函数符号、诱导公式和同角三角函数关系的理解程度，以及化归与转化的思想和运算求解的能力．