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2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末高分押题模拟试卷（一）（含解析）
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这是一份2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末高分押题模拟试卷（一）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学期末高分押题模拟试卷（一）
一、单选题
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
4．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=35°，则∠DAO的度数是（ ）
A．35° B．85° C．95° D．以上都不对
5．若，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．下列结论 不一定成立的是（ ）
A．∠AOP=∠BOP B．PC=PD
C．∠OPC=∠OPD D．OP=PC+PD
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，边长为的长方形的周长为12，面积为10，则的值为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．240
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，6），点P为x轴上一点，当PA+PB的值最小时，三角形PAB的面积为（ ）
A．1 B．6 C．8 D．12
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
11．用科学记数法表示下数：0.00123=__________．
12．若，则常数______．
13．一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，则∠1= ________度．
14．分式方程的解是_____．
15．已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为____________．
16．如图，，要使，还需添加一个条件是：______．（填上你认为适当的一个条件即可）
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为_________．
三、解答题
18．化简：．
19．解分式方程：．
20．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE平分∠BAD．
(2)求证：AD＝AB＋CD．
21．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．某茶店用元购进了种茶叶若干盒，用元购进了种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍，，两种茶叶每盒进价分别为多少元？
22．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、AC边上的两点，其中BD＝CE，连接AD、BE交于点P．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求出∠APB的度数．
23．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
24．如图，是等边△的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）请判断线段，与三者之间的数量关系，并证明你的结论．
25．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．
参考答案
1．D
【详解】
试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
考点：轴对称图形．
2．C
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】
A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则，掌握以上运算法则是解题的关键．
3．D
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于0，即x-2≠0，解得x的取值范围．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
4．B
【分析】
由“SAS”可证△OAD≌△OBC，就可以得出∠C=∠D，从而得出结论．
【详解】
解：在△OAD和△OBC中
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴∠D=∠C．
∵∠C=35°，
∴∠D=35°．
∴∠DAO=180°-∠D-∠O=180°-60°-35°=85°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
5．C
【分析】
根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂将a、b、c算出结果，再比较大小．
【详解】
解：，，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是掌握有理数乘方的运算法则．
6．D
【分析】
根据角平分线性质和垂直得出PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，求出∠CPO=∠DPO，即可得出答案.
【详解】
∵P是∠AOB的平分线上的一点，
∴∠1=∠2.故A正确；
∵∠1=∠2，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，故B正确；
∵∠PCO+∠1+∠OPC=180°，∠2+∠PDO+∠OPD=180°，
∴∠OPC=∠OPD，故C正确；
根据已知不能推出OP=PC+PD.故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，能熟记知识点是解答此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
7．D
【详解】
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确.
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确.
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD.
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个．故选D.
8．B
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．
【详解】
解：∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，
∴a+b=6，ab=10，
则a2b+ab2=ab(a+b)=10×6=60．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．B
【分析】
如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小．判断出点P的坐标，根据S△PAB＝S△AA′B﹣S△AA′P，求解即可．
【详解】
解：如图，作点A关于 x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小．
∵A（﹣2，2），B（2，6），A′（﹣2，﹣2），P（﹣1，0），
∴S△PAB＝S△AA′B﹣S△AA′P＝×4×4﹣×4×1＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
10．D
【详解】
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D
11．
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：0.00123＝1.23×10−3．
故答案为：1.23×10−3．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．
【分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
解：∵代数式x2+mx+16通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+mx+16=（x±4）2，
则．
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13．105
【分析】
先求出∠CAE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
如图，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，△BDF中，∠BAD=45°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAD=90°-45°=45°，
∴∠CED=∠EAC+∠C=45°+60°=105°．
∴∠1=105°．
故答案是：105．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
14．
【分析】
先去分母得一元二次方程，利用平方根的性质解方程可求出x的值，最后检验即可得答案．
【详解】
去分母得：，
移项得：，
开平方得：，
检验：当时，，故是原分式方程的增根，
当时，，故是原分式方程的根，
故答案为：
【点睛】
本题考查解分式方程及平方根，熟练掌握分式方程的解法及平方根的性质是解题关键．注意：分式方程最后要检验，避免出现增根．
15．12
【分析】
先求出对应的外角，再根据多边形的外角和求出多边形的边数即可．
【详解】
解：∵一个凸多边形的每个内角都是150°，
∴对应的外角度数为180°-150°=30°，
∴多边形的边数是
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．
16．或或
【分析】
由∠1=∠2可得∠AEB=∠AEC，AD为公共边，根据全等三角形的判定添加条件即可．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．72°或108°
【分析】
利用外角的性质判断出，分类讨论当时和时，两种情况，利外角的性质和角的等量代换运算即可．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴当时，则
∴
当时，则
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，外角的性质，灵活运用外角的性质是解题的关键．
18．．
【分析】
先根据多形式与多形式的乘法法则和多项式与单项式的除法法则计算，再合并同类项．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
19．原分式方程无解
【分析】
先两边同乘以将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【详解】
解：，即，
方程两边同乘以化成整式方程，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验，时，原分式方程的分母等于0，即不是原方程的解，
故方程无解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；
【详解】
（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．
（2）证明：AD=CD+AB，
∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中
，
∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），
∴DC=DF，
同理AF=AB，
∵AD=AF+DF，
∴AD=CD+AB；
【点睛】
此题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
21．种茶叶每盒进价为元，种茶叶每盒进价为元
【分析】
设A种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元．根据所购种茶叶比种茶叶多盒列出方程求解即可．
【详解】
解：设A种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元．
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，目符合题意．
答：种茶叶每盒进价为元，种茶叶每盒进价为元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找出正确的等量关系列出分式方程是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）120°
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS即可判定△ABD≌△BCE，即可得出结论；
（2）先由△ABD≌△CBE，得出对应角∠BAD=∠CBE，再由三角形内角和即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE，
∴△ABD≌△BCE
∴AD=BE．
（2）∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°，
∴∠ABP+∠BAD=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键．
23．（1）（x﹣2）（x﹣4）；（2）①（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【分析】
(1) 根据材料1,可对进行x2﹣6x+8进行分解因式;
(2) ①根据材料2的整体思想，可对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3进行分解因式;
②根据材料1、2，可对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3进行分解因式.
【详解】
解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点睛】
本题主要考查因式分解的方法-十字相乘法.
24．（1）证明见解析；（2）60°－α；（3）PB= PC+2PE，证明见解析
【分析】
（1）根据对称得CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，然后根据等边三角形的性质可得CB=CA,从而证出结论；
（2）根据对称得∠ACD=2，根据等边三角形的性质可得CA=CB=CD，∠ACB=60°，从而求出∠BCD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE，然后根据PB=PF+BF可得结论．
【详解】
证明：（1）∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA=CD，
∵△为等边三角形
∴CB=CA
∴
解：（2）∵，
∴∠ACD=2，
∵△为等边三角形
∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α．
∴∠BDC=∠DBC=（180°－∠BCD）=60°－α；
（3）PB= PC+2PE，证明如下
在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，
设，
∵CA=CD，∠ACD=2α，
∴∠CDA=∠CAD=90°－α，
∵∠BDC=60°－α，
∴∠PDE=∠CDA－∠BDC=30°，
∴PD=2PE，
∵∠CPF=∠DPE=90°－∠PDE=60°，
∴△CPF是等边三角形，
∴∠CPF=∠CFP=60°，
∴∠BFC=∠DPC=120°，
∴在△BFC和△DPC中，
，
∴△BFC≌△DPC，
∴BF=PD=2PE，
∴PB=PF+BF=PC+2PE．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，第三问作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）结论：BD＝2CF．理由见解析；（3）.
【分析】
（1）欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
（2）结论：BD=2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；
（3）利用（2）中结论即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF＝∠BCF＝90°，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠DAC＝∠CBF，
∵BC＝CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF＝AD．
（2）结论：BD＝2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．
∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠DAC＝∠AEH，
∵AD＝AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，
∵CB＝CA，
∴BD＝CH，
∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，
∴△EHF≌△BCF，
∴FH＝CF，
∴BC＝CH＝2CF．
（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．
∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，
∴．
八年级数学期末高分押题模拟试卷（一）
一、单选题
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
4．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=35°，则∠DAO的度数是（ ）
A．35° B．85° C．95° D．以上都不对
5．若，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．下列结论 不一定成立的是（ ）
A．∠AOP=∠BOP B．PC=PD
C．∠OPC=∠OPD D．OP=PC+PD
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，边长为的长方形的周长为12，面积为10，则的值为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．240
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，6），点P为x轴上一点，当PA+PB的值最小时，三角形PAB的面积为（ ）
A．1 B．6 C．8 D．12
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
11．用科学记数法表示下数：0.00123=__________．
12．若，则常数______．
13．一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，则∠1= ________度．
14．分式方程的解是_____．
15．已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为____________．
16．如图，，要使，还需添加一个条件是：______．（填上你认为适当的一个条件即可）
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为_________．
三、解答题
18．化简：．
19．解分式方程：．
20．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE平分∠BAD．
(2)求证：AD＝AB＋CD．
21．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．某茶店用元购进了种茶叶若干盒，用元购进了种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍，，两种茶叶每盒进价分别为多少元？
22．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、AC边上的两点，其中BD＝CE，连接AD、BE交于点P．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求出∠APB的度数．
23．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
24．如图，是等边△的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的大小（用含的式子表示）；
（3）请判断线段，与三者之间的数量关系，并证明你的结论．
25．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．
参考答案
1．D
【详解】
试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
考点：轴对称图形．
2．C
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】
A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则，掌握以上运算法则是解题的关键．
3．D
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于0，即x-2≠0，解得x的取值范围．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
4．B
【分析】
由“SAS”可证△OAD≌△OBC，就可以得出∠C=∠D，从而得出结论．
【详解】
解：在△OAD和△OBC中
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴∠D=∠C．
∵∠C=35°，
∴∠D=35°．
∴∠DAO=180°-∠D-∠O=180°-60°-35°=85°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
5．C
【分析】
根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂将a、b、c算出结果，再比较大小．
【详解】
解：，，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是掌握有理数乘方的运算法则．
6．D
【分析】
根据角平分线性质和垂直得出PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，求出∠CPO=∠DPO，即可得出答案.
【详解】
∵P是∠AOB的平分线上的一点，
∴∠1=∠2.故A正确；
∵∠1=∠2，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°，故B正确；
∵∠PCO+∠1+∠OPC=180°，∠2+∠PDO+∠OPD=180°，
∴∠OPC=∠OPD，故C正确；
根据已知不能推出OP=PC+PD.故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，能熟记知识点是解答此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
7．D
【详解】
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确.
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确.
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD.
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个．故选D.
8．B
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．
【详解】
解：∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，
∴a+b=6，ab=10，
则a2b+ab2=ab(a+b)=10×6=60．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．B
【分析】
如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小．判断出点P的坐标，根据S△PAB＝S△AA′B﹣S△AA′P，求解即可．
【详解】
解：如图，作点A关于 x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小．
∵A（﹣2，2），B（2，6），A′（﹣2，﹣2），P（﹣1，0），
∴S△PAB＝S△AA′B﹣S△AA′P＝×4×4﹣×4×1＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
10．D
【详解】
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D
11．
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：0.00123＝1.23×10−3．
故答案为：1.23×10−3．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．
【分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
解：∵代数式x2+mx+16通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+mx+16=（x±4）2，
则．
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13．105
【分析】
先求出∠CAE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
如图，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，△BDF中，∠BAD=45°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAD=90°-45°=45°，
∴∠CED=∠EAC+∠C=45°+60°=105°．
∴∠1=105°．
故答案是：105．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
14．
【分析】
先去分母得一元二次方程，利用平方根的性质解方程可求出x的值，最后检验即可得答案．
【详解】
去分母得：，
移项得：，
开平方得：，
检验：当时，，故是原分式方程的增根，
当时，，故是原分式方程的根，
故答案为：
【点睛】
本题考查解分式方程及平方根，熟练掌握分式方程的解法及平方根的性质是解题关键．注意：分式方程最后要检验，避免出现增根．
15．12
【分析】
先求出对应的外角，再根据多边形的外角和求出多边形的边数即可．
【详解】
解：∵一个凸多边形的每个内角都是150°，
∴对应的外角度数为180°-150°=30°，
∴多边形的边数是
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．
16．或或
【分析】
由∠1=∠2可得∠AEB=∠AEC，AD为公共边，根据全等三角形的判定添加条件即可．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．72°或108°
【分析】
利用外角的性质判断出，分类讨论当时和时，两种情况，利外角的性质和角的等量代换运算即可．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴当时，则
∴
当时，则
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，外角的性质，灵活运用外角的性质是解题的关键．
18．．
【分析】
先根据多形式与多形式的乘法法则和多项式与单项式的除法法则计算，再合并同类项．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
19．原分式方程无解
【分析】
先两边同乘以将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【详解】
解：，即，
方程两边同乘以化成整式方程，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验，时，原分式方程的分母等于0，即不是原方程的解，
故方程无解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；
【详解】
（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．
（2）证明：AD=CD+AB，
∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中
，
∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），
∴DC=DF，
同理AF=AB，
∵AD=AF+DF，
∴AD=CD+AB；
【点睛】
此题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
21．种茶叶每盒进价为元，种茶叶每盒进价为元
【分析】
设A种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元．根据所购种茶叶比种茶叶多盒列出方程求解即可．
【详解】
解：设A种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元．
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，目符合题意．
答：种茶叶每盒进价为元，种茶叶每盒进价为元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找出正确的等量关系列出分式方程是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）120°
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS即可判定△ABD≌△BCE，即可得出结论；
（2）先由△ABD≌△CBE，得出对应角∠BAD=∠CBE，再由三角形内角和即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE，
∴△ABD≌△BCE
∴AD=BE．
（2）∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°，
∴∠ABP+∠BAD=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键．
23．（1）（x﹣2）（x﹣4）；（2）①（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【分析】
(1) 根据材料1,可对进行x2﹣6x+8进行分解因式;
(2) ①根据材料2的整体思想，可对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3进行分解因式;
②根据材料1、2，可对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3进行分解因式.
【详解】
解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点睛】
本题主要考查因式分解的方法-十字相乘法.
24．（1）证明见解析；（2）60°－α；（3）PB= PC+2PE，证明见解析
【分析】
（1）根据对称得CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，然后根据等边三角形的性质可得CB=CA,从而证出结论；
（2）根据对称得∠ACD=2，根据等边三角形的性质可得CA=CB=CD，∠ACB=60°，从而求出∠BCD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE，然后根据PB=PF+BF可得结论．
【详解】
证明：（1）∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA=CD，
∵△为等边三角形
∴CB=CA
∴
解：（2）∵，
∴∠ACD=2，
∵△为等边三角形
∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α．
∴∠BDC=∠DBC=（180°－∠BCD）=60°－α；
（3）PB= PC+2PE，证明如下
在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，
设，
∵CA=CD，∠ACD=2α，
∴∠CDA=∠CAD=90°－α，
∵∠BDC=60°－α，
∴∠PDE=∠CDA－∠BDC=30°，
∴PD=2PE，
∵∠CPF=∠DPE=90°－∠PDE=60°，
∴△CPF是等边三角形，
∴∠CPF=∠CFP=60°，
∴∠BFC=∠DPC=120°，
∴在△BFC和△DPC中，
，
∴△BFC≌△DPC，
∴BF=PD=2PE，
∴PB=PF+BF=PC+2PE．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，第三问作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）结论：BD＝2CF．理由见解析；（3）.
【分析】
（1）欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
（2）结论：BD=2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；
（3）利用（2）中结论即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF＝∠BCF＝90°，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠DAC＝∠CBF，
∵BC＝CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF＝AD．
（2）结论：BD＝2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．
∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠DAC＝∠AEH，
∵AD＝AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，
∵CB＝CA，
∴BD＝CH，
∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，
∴△EHF≌△BCF，
∴FH＝CF，
∴BC＝CH＝2CF．
（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．
∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，
∴．
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