八年级（上）期末数学试卷2

这是一份八年级（上）期末数学试卷2，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列计划图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A.角B.等腰三角形C.长方形D.直角三角形

2. 若分式x+1x−1有意义，则x满足的条件是（ ）
A.x=1B.x=−1C.x≠1D.x≠−1

3. 下列运算中正确的是（ ）
A.a3+a3=2a6B.a2⋅a3=a6C.(a2)3=a5D.a2÷a5=a−3

4. 分式6ca2b与c3ab2的最简公分母是（ ）
A.abB.3abC.3a2b2D.3a2b6

5. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB // ED，AB＝DE，要使△ABC≅△DEF，需要添加下列选项中的一个条件是（ ）

A.BF＝ECB.AC＝DFC.∠B＝∠ED.BF＝FC

6. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（ ）
A.17B.22C.17或22D.13

7. 若x+m与2−x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A.−2B.2C.0D.1

8. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）

A.a2−b2=(a−b)2B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a−b)2=a2−2ab+b2D.a2−b2=(a+b)(a−b)

9. 三角形中，三个内角的比为1:3:6，它的三个外角的比为（ ）
A.1:3:6B.6:3:1C.9:7:4D.3:5:2

10. 如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN // BC，则BM，CN之间的关系是（ ）
A.BM+CN=MNB.BM−CN=MN
C.CN−BM=MND.BM−CN=2MN
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为________m．

一个n边形的内角和是1260∘，那么n=________．

如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于多少度？________．

已知4y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是________．

若分式方程：3+2−kxx−3=13−x无解，则k=________．

如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

分解因式：
（1）6xy2−9x2y−y3；

（2）16x4−1．

先化简，再求值：(xx+y+2yx+y)⋅xyx+2y÷(1x+1y)，其中x2+y2=17，(x−y)2=9．

如图，点E在AB上，∠CEB=∠B，∠1=∠2=∠3，求证：CD=CA．

如图，在平面直角坐标系中，A(−1, 5)，B(−1, 0)，C(−4, 3)．

(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

(2)在y轴上找出一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标．

甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．
（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？

（2）1月6日甲与丙去攀登另一座ℎ米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含ℎ的代数式表示）

如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC=90∘+12∠BAC；

（2）∠1=∠2．

如图1，我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为10×12−4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为________．

（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．

（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2017，则这个十字星中心的数为________（直接写出结果）．

△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60∘．
（1）如图1，求证：BD=CE；

（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60∘；

（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．
参考答案与试题解析
2016-2017学年湖北省鄂州市梁子湖区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、角一定是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；
B、等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；
C、长方形一定是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，符合题意，本选项正确．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
无意义分式的条件
【解析】
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】
解：由题意得，x−1≠0，
解得x≠1．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的除法
合并同类项
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
负整数指数幂
【解析】
根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方及积的乘方法则，合并同类项，负整数指数幂结合各项进行判断即可．
【解答】
解：A、a3+a3=2a3，原式计算错误，故本项错误；
B、a2⋅a3=a5，原式计算错误，故本项错误；
C．(a2)3=a5，原式计算正确，故本项错误；
D．a2÷a5=a−3，原式计算正确，故本项正确；
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
最简公分母
【解析】
先找系数的最小公倍数3，再找字母的最高次幂．
【解答】
解：分式6ca2b与c3ab2的最简公分母是3a2b2，
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
根据“SAS”可添加BF＝EC使△ABC≅△DEF．
【解答】
∵ AB // ED，AB＝DE，
∴ ∠B＝∠E，
∴ 当BF＝EC时，
可得BC＝EF，
可利用“SAS”判断△ABC≅△DEF．
6.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的判定与性质
【解析】
题目给出等腰三角形有两条边长为7和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：当腰为9时，周长=9+9+4=22；
当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为9，
这个三角形的周长是22．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
多项式乘多项式
【解析】
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】
解：根据题意得：
(x+m)(2−x)=2x−x2+2m−mx，
∵ x+m与2−x的乘积中不含x的一次项，
∴ m=2；
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
平方差公式的几何背景
平行四边形的性质
等腰梯形的性质
【解析】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【解答】
解：∵ 两个图中的阴影部分的面积相等，据图知甲的面积=a2−b2，乙的面积=(a+b)(a−b)．
即：a2−b2=(a+b)(a−b)．
所以验证成立的公式为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
三角形的外角性质
三角形内角和定理
【解析】
由三角形中，三个内角的比为1:3:6，根据三角形的外角的性质，即可求得它的三个外角的比．
【解答】
解：∵ 三角形中，三个内角的比为1:3:6，
∴ 它的三个外角的比为：(3+6)：(1+6)：(1+3)=9:7:4．
故选：C．
10.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的判定与性质
平行线的判定与性质
【解析】
只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
【解答】
证明：∵ ON // BC，
∴ ∠MOC=∠OCD
∵ CO平分∠ACD，
∴ ∠ACO=∠DCO，
∴ ∠NOC=∠OCN，
∴ CN=ON，
∵ ON // BC，
∴ ∠MOB=∠OBD
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠MBO=∠CBO，
∴ ∠MBO=∠MOB，
∴ OM=BM
∵ OM=ON+MN，OM=BM，ON=CN，
∴ BM=CN+MN，
∴ MN=BM−CN．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
【答案】
1.02×10−7
【考点】
科学记数法--表示较小的数
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.000000102=1.02×10−7．
故答案为：1.02×10−7．
【答案】
9
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
根据多边形的内角和公式：(n−2)．180 (n≥3)且n为整数）可得方程：(n−2)×180=1260，再解方程即可．
【解答】
解：由题意得：(n−2)×180=1260，
解得：n=9.
故答案为：9．
【答案】
66∘
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
根据图形和亲弟弟三角形的性质得出∠1=∠C，∠D=∠A=54∘，∠E=∠B=60∘，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：
∵ △ABC≅△DEF，
∴ ∠1=∠C，∠D=∠A=54∘，∠E=∠B=60∘，
∴ ∠1=180∘−∠E−∠F=66∘，
故答案为：66∘．
【答案】
±4
【考点】
完全平方式
【解析】
利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可．
【解答】
∵ 4y2+my+1是完全平方式，
∴ m＝±4，
【答案】
3或1
【考点】
分式方程的解
【解析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】
解：方程去分母得：3(x−3)+2−kx=−1，
整理得(3−k)x=6，
当整式方程无解时，3−k=0即k=3，
当分式方程无解时，x=3，此时3−k=2，k=1，
所以k=3或1时，原方程无解．
故答案为：3或1．
【答案】
8
【考点】
轴对称——最短路线问题
等腰三角形的判定与性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【解答】
解：连接AD交EF与点M′，连结AM．
∵ △ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得AD=6，
∵ EF是线段AB的垂直平分线，
∴ AM=BM．
∴ BM+MD=MD+AM．
∴ 当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴ △BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8．
故答案为：8.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
【答案】
原式＝−y(y2−6xy+9x2)＝−y(y−3x)2；
原式＝(4x2+1)(4x2−1)＝(4x2+1)(2x+1)(2x−1)．
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
原式＝−y(y2−6xy+9x2)＝−y(y−3x)2；
原式＝(4x2+1)(4x2−1)＝(4x2+1)(2x+1)(2x−1)．
【答案】
解：∵ x2+y2=17，(x−y)2=9，
∴ 2xy=x2+y2−(x−y)2=17−9=8，
∴ (x+y)2=x2+y2+2xy=17+8=25，
∴ x+y=5，xy=4，
∴ 原式=x+2yx+y×xyx+2y÷x+yxy
=xyx+y×xyx+y
=45×45
=1625．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先将原式进行化简，然后根据x2+y2=17，(x−y)2=9求出x+y和xy的值并代入求解即可．
【解答】
解：∵ x2+y2=17，(x−y)2=9，
∴ 2xy=x2+y2−(x−y)2=17−9=8，
∴ (x+y)2=x2+y2+2xy=17+8=25，
∴ x+y=5，xy=4，
∴ 原式=x+2yx+y×xyx+2y÷x+yxy
=xyx+y×xyx+y
=45×45
=1625．
【答案】
证明：如图，
∵ ∠1=∠3，∠CFD=∠EFA，
∴ 180∘−∠1−∠CFD=180∘−∠3−∠EFA，即∠D=∠A，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠DCE=∠ACB，
又∵ ∠CEB=∠B，
∴ CE=CB，
在△DCE和△ACB中，
∵ ∠D=∠A∠DCE=∠ACBCE=CB，
∴ △DCE≅△ACB(AAS)，
∴ CD=CA．
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
由∠1=∠3、∠CFD=∠EFA知∠D=∠A，由∠1=∠2知∠DCE=∠ACB，由∠CEB=∠B知CE=CB，从而证△DCE≅△ACB得CD=CA．
【解答】
证明：如图，
∵ ∠1=∠3，∠CFD=∠EFA，
∴ 180∘−∠1−∠CFD=180∘−∠3−∠EFA，即∠D=∠A，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠DCE=∠ACB，
又∵ ∠CEB=∠B，
∴ CE=CB，
在△DCE和△ACB中，
∵ ∠D=∠A∠DCE=∠ACBCE=CB，
∴ △DCE≅△ACB(AAS)，
∴ CD=CA．
【答案】
解：(1)如图所示：
(2)如图：连接AB1，此时PA+PB的值最小，PA+PB=AB′，
设直线AB1的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵ A(−1, 5)，B1(1, 0)，
∴ 5=−k+b，0=k+b，解得k=−52，b=52，
∴ 直线AB1的解析式为：y=−52x+52，
∴ P(0, 2.5).
(3)如图所示：A2(−6, 0)．

【考点】
轴对称——最短路线问题
作图-轴对称变换
【解析】
（1）先作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）连接AB1交y轴于点P，利用待定系数法求出直线AB1的解析式，进而可得出P点坐标；
（3）找出点A关于直线BC的对称点，并写出其坐标即可．
【解答】
解：(1)如图所示：
(2)如图：连接AB1，此时PA+PB的值最小，PA+PB=AB′，
设直线AB1的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵ A(−1, 5)，B1(1, 0)，
∴ 5=−k+b，0=k+b，解得k=−52，b=52，
∴ 直线AB1的解析式为：y=−52x+52，
∴ P(0, 2.5).
(3)如图所示：A2(−6, 0)．

【答案】
解：（1）设乙的速度为x米/分钟，
9001.2x+15=900x，
解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴ 1.2x=12，
即甲的平均攀登速度是12米/分钟；
（2）设丙的平均攀登速度是y米/分，
ℎ12+0.5×60=ℎy，
化简，得
y=12ℎℎ+360，
∴ 甲的平均攀登速度是丙的：1212ℎℎ+360=ℎ+360ℎ倍，
即甲的平均攀登速度是丙的ℎ+360ℎ倍．
【考点】
分式方程的应用
【解析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；
（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．
【解答】
解：（1）设乙的速度为x米/分钟，
9001.2x+15=900x，
解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴ 1.2x=12，
即甲的平均攀登速度是12米/分钟；
（2）设丙的平均攀登速度是y米/分，
ℎ12+0.5×60=ℎy，
化简，得
y=12ℎℎ+360，
∴ 甲的平均攀登速度是丙的：1212ℎℎ+360=ℎ+360ℎ倍，
即甲的平均攀登速度是丙的ℎ+360ℎ倍．
【答案】
解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB=180∘−∠BAC，
∵ BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB
∴ ∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180∘−∠BAC)=90∘−12∠BAC
∴ ∠BGC=180∘−(∠GBC+∠GCB)=180∘−12(∠ABC+∠ACB)=90∘+12∠BAC；
（2）∵ AD是它的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD
∴ ∠1=∠BAD+∠ABG，
∵ GH⊥BC，
∴ ∠GHC=90∘
∴ ∠2=90∘−∠GCH
=90∘−12∠ACB
=90∘−12(180∘−∠DAC−∠ADC)
=12∠DAC+12∠ADC
∵ ∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴ 12∠ADC=12∠ABC+∠12∠BAD
=∠ABG+12∠BAD，
∴ ∠2=12∠DAC+12∠ADC
=12∠BAD+12∠BAD+∠ABG
=∠BAD+∠ABG，
∴ ∠1=∠2，
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180∘−∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC=90∘+12∠BAC．
（2）由于AD是它的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，然后根据图形可知：∠1=∠BAD+∠ABG，∠2=90∘−∠GCH，最后根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．
【解答】
解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB=180∘−∠BAC，
∵ BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB
∴ ∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180∘−∠BAC)=90∘−12∠BAC
∴ ∠BGC=180∘−(∠GBC+∠GCB)=180∘−12(∠ABC+∠ACB)=90∘+12∠BAC；
（2）∵ AD是它的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD
∴ ∠1=∠BAD+∠ABG，
∵ GH⊥BC，
∴ ∠GHC=90∘
∴ ∠2=90∘−∠GCH
=90∘−12∠ACB
=90∘−12(180∘−∠DAC−∠ADC)
=12∠DAC+12∠ADC
∵ ∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴ 12∠ADC=12∠ABC+∠12∠BAD
=∠ABG+12∠BAD，
∴ ∠2=12∠DAC+12∠ADC
=12∠BAD+12∠BAD+∠ABG
=∠BAD+∠ABG，
∴ ∠1=∠2，
【答案】
24
（2）定值为k2−1=(k+1)(k−1)；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x−1，x+1，上下两数分别为x−k，x+k(k≥3)，
十字差为(x−1)(x+1)−(x−k)(x+k)=x2−1−x2+k2=k2−1，
故这个定值为k2−1=(k+1)(k−1)；
975
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）定值为k2−1=(k+1)(k−1)，理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a−62，a+64，左右两个数为a−1，a+1，根据相应的“十字差”为2017求出a的值即可．
【解答】
解：（1）根据题意得：6×8−2×12=48−24=24；
（2）定值为k2−1=(k+1)(k−1)；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x−1，x+1，上下两数分别为x−k，x+k(k≥3)，
十字差为(x−1)(x+1)−(x−k)(x+k)=x2−1−x2+k2=k2−1，
故这个定值为k2−1=(k+1)(k−1)；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a−62，a+64，左右两个数为a−1，a+1，
根据题意得：(a−1)(a+1)−(a−62)(a+64)=2017，
解得：a=975．
【答案】
解：（1）如图1，∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠ACE=60∘BC=AC，
∵ ∠AFD=∠CAE+∠ACD=60∘∠BCD+∠ACD=∠ACB=60∘，
∴ ∠BCD=∠CAE，
在△ABE和△BCD中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE
∴ △ABE≅△BCD(ASA)，
∴ BD=CE；
（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，
∵ ∠EFC=∠AFD=60∘
∴ ∠AFC=120∘，
∵ FG为△AFC的角平分线，
∴ ∠CFH=∠AFH=60∘，
∴ ∠CFH=∠CFE=60∘，
∵ CM⊥AE，CN⊥HF，
∴ CM=CN，
∵ ∠CEM=∠ACE+∠CAE=60∘+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60∘+∠CAE，
∴ ∠CEM=∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90∘CM=CN
∴ △ECM≅△GCN(AAS)，
∴ CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，
∴ ∠MCN=∠ECG=60∘，
∵ △ABE≅△BCD，
∵ AE=CD，
∵ HG=CD，
∴ AE=HG，
∴ AE+EM=HG+GN，即AM=HN，
在△AMC和△HNC中
AM=HN∠AMC=∠HNC=90∘CM=CN
∴ △AMC≅△HNC(SAS)，
∴ ∠ACM=∠HCN，AC=HC，
∴ ∠ACM−∠ECM=∠HCN−∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60∘，
∴ △ACH是等边三角形，
∴ ∠AHC=60∘；
（3）如图3，在FH上截取FK=FC，
∵ ∠HFC=60∘，
∴ △FCK是等边三角形，
∴ ∠FKC=60∘，FC=KC=FK，
∵ ∠ACH=60∘，
∴ ∠ACF=∠HCK，
在△AFC和△HKC中
FC=KC∠ACF=∠HCKAC=HC
∴ △AFC≅△HKC(SAS)，
∴ AF=HK，
∴ HF=AF+FC=9，
∵ AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，
∴ AG=2CG，
∴ S△AEGS△CFG=AGGC=21，
作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，
∵ FG为△AFC的角平分线，
∴ GW=GQ，
∵ S△AEGS△CFG=12AF⋅GW12CF⋅GQ=AFCF=21，
∴ AF=2CF，
∴ AF=6．
【考点】
全等三角形的性质
等边三角形的判定方法
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60∘，根据SAS推出△ABE≅△BCD，即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60∘+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60∘+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≅△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≅△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60∘；
（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≅△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD可知AG=2CG，再由S△AEGS△CFG=AGGC，根据等高三角形面积比等于底的比得出S△AEGS△CFG=12AF⋅GW12CF⋅GQ=AFCF=2，再由AF+FC=9求得．
【解答】
解：（1）如图1，∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠ACE=60∘BC=AC，
∵ ∠AFD=∠CAE+∠ACD=60∘∠BCD+∠ACD=∠ACB=60∘，
∴ ∠BCD=∠CAE，
在△ABE和△BCD中，
∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE
∴ △ABE≅△BCD(ASA)，
∴ BD=CE；
（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，
∵ ∠EFC=∠AFD=60∘
∴ ∠AFC=120∘，
∵ FG为△AFC的角平分线，
∴ ∠CFH=∠AFH=60∘，
∴ ∠CFH=∠CFE=60∘，
∵ CM⊥AE，CN⊥HF，
∴ CM=CN，
∵ ∠CEM=∠ACE+∠CAE=60∘+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60∘+∠CAE，
∴ ∠CEM=∠CGN，
在△ECM和△GCN中
∠CEM=∠CGN∠CME=∠CNG=90∘CM=CN
∴ △ECM≅△GCN(AAS)，
∴ CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，
∴ ∠MCN=∠ECG=60∘，
∵ △ABE≅△BCD，
∵ AE=CD，
∵ HG=CD，
∴ AE=HG，
∴ AE+EM=HG+GN，即AM=HN，
在△AMC和△HNC中
AM=HN∠AMC=∠HNC=90∘CM=CN
∴ △AMC≅△HNC(SAS)，
∴ ∠ACM=∠HCN，AC=HC，
∴ ∠ACM−∠ECM=∠HCN−∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60∘，
∴ △ACH是等边三角形，
∴ ∠AHC=60∘；
（3）如图3，在FH上截取FK=FC，
∵ ∠HFC=60∘，
∴ △FCK是等边三角形，
∴ ∠FKC=60∘，FC=KC=FK，
∵ ∠ACH=60∘，
∴ ∠ACF=∠HCK，
在△AFC和△HKC中
FC=KC∠ACF=∠HCKAC=HC
∴ △AFC≅△HKC(SAS)，
∴ AF=HK，
∴ HF=AF+FC=9，
∵ AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，
∴ AG=2CG，
∴ S△AEGS△CFG=AGGC=21，
作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，
∵ FG为△AFC的角平分线，
∴ GW=GQ，
∵ S△AEGS△CFG=12AF⋅GW12CF⋅GQ=AFCF=21，
∴ AF=2CF，
∴ AF=6．