初中数学冀教版八年级上册16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案教学设计

图形的变换——平移、旋转、轴对称

                         阳胜中学  王学凤

一、复习检测：

1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

答案：B

2、已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转后得到图2，则旋转的牌是（   ）

答案：A

 3、如图，以点为为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到．若，则=     度．

答案：40

4.如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的，如果图①中△ABC上点P的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（  ）

A． B． C． D．

答案：C

5.下列四个图形中不是轴对称图形的是(    )  

答案：A

6.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（  ）

 A．4 B．3 C．2 D．

答案：C

7.在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图中的△ABC称为格点△ABC．现将图中△ABC绕点A顺时针旋转，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B的对应点所在的位置是（   ）

 A．甲        B．乙       C．丙       D．丁

答案：C

8.如图2，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（  ）.

（A）60°       （B）67.5°          （C）72°           （D）75°

答案：B

9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（   ）

A．对应点连线与对称轴垂直

B．对应点连线被对称轴平分

C．对应点连线被对称轴垂直平分

D．对应点连线互相平行

答案：B

10.如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为        ．

答案：

二、知识点再现：

1、平移：在平面内，将一个图形沿        移动        ，这样的图形运动称为平移。

2、平移的性质：经过平移后的图形与原图形的对应线段        ，对应角         ，图形的          与        都没有发生变化，即平移前后的两个图形            ；且对应点所连的线段             。

3、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线         后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做              。

4、轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够          ，那么这个图形叫做它的          。

5、轴对称的性质：对应线段         ，对应角         ，对应点的连线被对称轴        。

6、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为             ，这个定点称为            ，转动的角度称为           。

7、旋转的性质：旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离         ；旋转角         ；旋转不改变图形的         和         。

8、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能与另一个图形        ，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做         。

9、中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°能与自身        ，我们把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做         。

10、中心对称的性质：关于某点成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过       ，并且被对称中心          。

三、重点讲解：

1、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（    ）

A．        B．       C．        D．

【关键词】坐标和旋转变换

【答案】D

2、图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝6cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O’A’C’ ．如图2，其中O’是OB的中点．O’C’交于点F，则的长为_______cm．

答案：

3. (本题6分) 山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美。图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的。图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图。

   (1) 根据图2将图3补充完整；

   (2) 在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形。

4．（本题10分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

答：AEGC。

      [证明] 延长GC交AE于点H。在正方形ABCD与正方形

            DEFG中，AD=DC，ADE=CDG=90，DE=DG，

            ∴△ADE△CDG，∴1=2，∵23=90，

            ∴13=90，∴AHG=180(13)=18090

            =90，∴AEGC。

   (2) 答：成立。
      [证明] 延长AE和GC相交于点H。在正方形ABCD与

            正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，

            ADC=DCB=B=BAD=EDG=90，

            ∴1=2=903，∴△ADE△CDG，

            ∴5=4，又∵56=90，

            47=180DCE=18090=90，6=7，

            又∵6AEB=90∴AEB=CEH，

            ∴CEH7=90，∴EHC=90，∴AEGC。

四、真题选作：

知识点一、轴对称图形的定义

1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是(        )

　　           　　　　　 ①                ②                ③                ④

　　A．①②③          B．②③④         C．③④①         D．④①②

答案：B    说明：根据轴对称图形的概念，不难看出只有第一个标志的图案不是轴对称图形，其它三个都是轴对称图形，所以答案是B．　

知识点二、平移的定义

2．所给的图形中，只用其中最基本的一个图形，经过平移可以得到的有（     ）

　　   (1)               (2)             (3)                 (4)

　　A．1个    　B．2个　    C．3个       D．4个

答案：B    用图(2)中的六边形、图(4)中的菱形，分别经过一次和三次平移，可得到相应的图形．

知识点三、轴对称的性质——折叠问题

3、（2010年浙江省东阳县）如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 __    __度．   

【关键词】折叠问题

【答案】80°

知识点四、旋转的定义及性质

4．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（　）

　　A．顺时针旋转60°得到

　　B．顺时针旋转120°得到

　　C．逆时针旋转60°得到

D．逆时针旋转120°得到

答案：D

5.(2010年山东聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，RtA可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段的长为_________________．

【关键词】旋转

【答案】  过点B`作B`D⊥AC于D，在Rt△DB`C中思考可得的长.

知识点五、利用平移旋转轴对称设计图案

6.（2008山西省）如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）。

五、目标检测：

1．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 = 5cm，则ΔPMN的周长是(        )

　　A． 3cm           B． 4cm            C． 5cm            D． 6cm

　　答案：C

　　说明：∵点P1是点P关于OA的对称点，

　　∴OA垂直平分PP1，则P1M = PM，

　　同样道理P2N = PN，

　　这样ΔPMN的周长PM+MN+NP = P1M+MN+NP2 = P1P2 = 5cm

2．（2010年山东省青岛市）下列图形中，中心对称图形有（    ）． 

 A．1个    B．2个      C．3个 D．4个

【关键词】中心对称图形

【答案】C

3、（2010盐城）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A．等边三角形   B．矩形     C．等腰梯形   D．平行四边形

关键词：轴对称、中心对称

 答案：B

4、（2010年山东省济南市）如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为         （    ）

A．50°        B．30°        C．100°       D．90°

【关键词】轴对称

【答案】C

5、（2010年宁波）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（    ）

       A、             B、            C、           D、

答案：C

6、（2010年重庆市潼南县）如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF  (      )

     A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位

B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位

    C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位

     D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位 

【关键词】图形的平移变换

【答案】C

7. (2010年兰州市) 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有

A．1个          B．2个           C．3个              D．4个

【关键词】中心对称图形

【答案】B

8．（2010山东德州）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（Ａ）     （Ｂ）           （Ｃ）     （Ｄ）

【关键词】轴对称、中心对称

【答案】B

9、2010年广东省广州市）从图2的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是（     ）

图2

A．            B．           C．         D．1

【关键词】中心对称图形 概率

【答案】A

10．如右上图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则ΔAEF的形状是（    ）

A．等腰三角形     B．直角三角形   C．等腰直角三角形    D．等边三角形

答案：C

11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后，得到矩形AB′C ′D′，如果CD=2DA=2，那么CC′=_________．

答案：

12．直线y=x+3上有一点P(3,2m)，则P点关于原点的对称点P′为______．

答案：（-3，-6）

13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°

后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为______。

答案：

14、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形

将纸片展开，得到的图形是（  ）　

答案：C

15.（2008四川自贡）如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（   ）

A．1组              B．2组            C．3组           D．4组

答案：C

16．已知如图11－25所示：四边形AECF中AE＝AF，∠EAF＝9O°，∠C＝90°，AB⊥FC于B，且AB＝BC，若FC＝10，EC＝6，求四边形AECF的面积．

解析：把△ABF绕A点逆时针旋转90º到△AF’E的位置，则S四边形AECF=S正方形ABCF′；

　　设正方形的长为x，则x+BF＝10，x-BF＝6；

　　所以x＝8，所以S正方形ABCF＝64．

17.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．

（1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点重合，画出平移后的三角形．

（2）将平移后的三角形绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形．

（3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．

18. （2010年安徽中考）在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形的位置如图所示。

⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900，画出相应的图形，

⑵若四边形ABCD平移后，与四边形成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形

【关键词】平移、旋转

【答案】（1）旋转后得到的图形如图所示；

（2）将四边形ABCD先向右平移四个单位，再向下平移6个单位，如图所示。

19、（2010年四川省眉山）如图，Rt△AB C  是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC  交斜边于点E，CC  的延长线交BB  于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=，∠CAC  =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

【关键词】三角形旋转、相似、探索型问题

【答案】  （1）证明：∵Rt△AB C  是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

        ∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB    ……（1分）

        ∴∠CAC =∠BAB 

∴∠ACC =∠ABB    …………………（3分）

又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE       ………………（4分）

   （2）解：当时，△ACE≌△FBE．   …（5分）

        在△ACC中，∵AC=AC ，

        ∴   ………（6分）

        在Rt△ABC中，

        ∠ACC+∠BCE=90°，即，

        ∴∠BCE=．

        ∵∠ABC=，

        ∴∠ABC=∠BCE    ……………………（8分）

        ∴CE=BE

        由（1）知：△ACE∽△FBE，

        ∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）