人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动综合与测试学案设计

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1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法.
一、竖直面内的圆周运动
1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.
图1
(1)最低点动力学方程：
FT1－mg＝meq \f(v\\al( 2,1),L)
所以FT1＝mg＋meq \f(v\\al( 2,1),L)
(2)最高点动力学方程：
FT2＋mg＝meq \f(v\\al( 2,2),L)
所以FT2＝meq \f(v\\al( 2,2),L)－mg
(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝eq \f(mv\\al( 2,2),L)可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝eq \r(gL).
讨论：当v2＝eq \r(gL)时，拉力或压力为零.
当v2>eq \r(gL)时，小球受向下的拉力或压力.
当v2如图2所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
图2
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值.
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4eq \r(2) m/s
解析 (1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝meq \f(v\\al( 2,1),L)，解得v1＝eq \r(gL)＝2 m/s.
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝meq \f(v\\al( 2,2),L)，解得FT＝15 N.
(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝eq \f(mv\\al( 2,3),L)，将FT′＝45 N代入解得v3＝4eq \r(2) m/s，即小球的速度不能超过4eq \r(2) m/s.
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图3所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.
图3
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v>eq \r(gL)，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝meq \f(v2,L)，所以F＝meq \f(v2,L)－mg，F随v 增大而增大；
②v＝eq \r(gL)，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝meq \f(v2,L)；
③0如图4，长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球(半径不计).求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2，取π2＝10)：
图4
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.
答案 (1)140 N 方向竖直向上 (2)10 N 方向竖直向下
解析 假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示：
(1)杆的转速为2 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s，
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N＝140 N，
即杆对小球有140 N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N，方向竖直向上.
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n′＝π rad/s，
同理可得小球所受杆的作用力
F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N＝－10 N.
力F′为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10 N的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下.
二、圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.
如图5所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，结果可用根式表示)
图5
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
答案 (1)eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s (2)2eq \r(5) rad/s
解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mω02lsin θ
解得ω0＝eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′＝eq \r(\f(g,lcs α))＝2eq \r(5) rad/s
(2019·郑州市高一下学期期末)如图6甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
图6
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求ω1的值；
(2)如图乙，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝eq \r(\f(μg,3r))时，求细绳的拉力FT2的大小；
(3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω3＝eq \r(\f(5μg,3r))时，求细绳的拉力FT3的大小.
答案 (1)eq \r(\f(μg,r)) (2)0 (3)eq \f(2,3)μmg
解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
解得：ω1＝eq \r(\f(μg,r))
(2)由于ω2<ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故FT2＝0.
(3)由于ω3>ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋FT3＝mω32r，可得此时绳子对物块拉力的大小为FT3＝eq \f(2,3)μmg.
1.(轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
图7
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝eq \r(gL)＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
2.(过山车模型)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )
图8
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于eq \r(gR)
D.小球的向心加速度大小等于g
答案 BCD
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝meq \f(v2,R)＝ma，即v＝eq \r(gR)，a＝g，选项B、C、D正确.
3.(轻杆模型)如图9所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝eq \r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
图9
A.eq \f(1,2)mg的拉力 B.eq \f(1,2)mg的压力
C.零 D.eq \f(3,2)mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝meq \f(v′2,L)，解得：v′＝eq \r(gL)，而eq \r(\f(1,2)gL)4.(圆周运动的临界问题)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图10所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均
相对圆盘静止，则下列说法正确的是( )
图10
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
答案 C
一、选择题
1.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
图1
A.0 B.eq \r(gR)
C.eq \r(2gR) D.eq \r(3gR)
答案 C
解析 由题意知F＋mg＝2mg＝meq \f(v2,R)，故速度大小v＝eq \r(2gR)，C正确.
2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( )
A.mg B.2mg
C.mg＋eq \f(mv2,R) D.2eq \f(mv2,R)
答案 B
解析 在最高点有：F1＋mg＝meq \f(v2,R)，解得：F1＝meq \f(v2,R)－mg；在最低点有：F2－mg＝meq \f(v2,R)，解得：F2＝mg＋meq \f(v2,R).所以由牛顿第三定律可知，F2′－F1′＝F2－F1＝2mg，B正确.
3.(多选)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图2所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法正确的是( )
图2
A.v的最小值为eq \r(gl)
B.v由零逐渐增大，向心力也增大
C.当v由eq \r(gl)逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D.当v由eq \r(gl)逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
答案 BCD
解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的最小值是零，故A错误.v由零逐渐增大，由Fn＝eq \f(mv2,l)可知，Fn也增大，故B正确.当v＝eq \r(gl)时，Fn＝eq \f(mv2,l)＝mg，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞eq \r(gl)时，杆对球的力为拉力，由mg＋F＝eq \f(mv2,l)可得F＝meq \f(v2,l)－mg，则当v由eq \r(gl)逐渐增大时，拉力F逐渐增大；当v＜eq \r(gl)时，杆对球的力为支持力，此时，mg－F′＝eq \f(mv2,l)可得F′＝mg－eq \f(mv2,l)，当v由eq \r(gl)逐渐减小时，支持力F′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C、D正确.
4.(多选)如图3所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是( )
图3
A.若v0＝eq \r(gR)，则小球对管内壁无压力
B.若v0>eq \r(gR)，则小球对管内上壁有压力
C.若0 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq \f(v\\al(2,0),R)，解得v0＝eq \r(gR)，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0＞eq \r(gR)，则有mg＋FN＝meq \f(v\\al( 2,0),R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0＜v0＜eq \r(gR)，则有mg－FN＝meq \f(v\\al( 2,0),R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误.
5.(多选)如图4所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )
图4
A.小球通过最高点时的最小速度是eq \r(Rg)
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BD
6.(多选)(2019·襄阳四中期中考试)质量为m的小球(不计大小)由轻绳a和b分别系于一竖直轻质细杆的A点和B点，如图5所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳沿水平方向且长为l，则下列说法正确的是( )
图5
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.若角速度ω>eq \r(\f(g,ltan θ))，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
解析 对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝eq \f(mg,sin θ)，为定值，A正确，B错误.当FTacs θ＝mω2l，即ω＝eq \r(\f(g,ltan θ))时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确.由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误.
7.(多选)如图6所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
图6
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝eq \r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωa2 l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，可得ωa＝eq \r(\f(kg,l))；对木块b：Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝eq \r(\f(kg,2l))，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa8.(2019·六安一中期中考试)如图7所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置用平直细线相连的质量相等的两物体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速增大到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则两个物体将要发生的运动情况是( )
图7
A.两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
B.只有A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
C.两物体均沿半径方向滑动，A靠近圆心、B远离圆心
D.两物体均沿半径方向滑动，A、B都远离圆心
答案 B
解析 当两物体刚要滑动时，A、B所受静摩擦力都是最大静摩擦力Ffm.对A有Ffm－FT＝mω2rA，对B有Ffm＋FT＝mω2rB，烧断细线的瞬间，FT消失，A的向心力由圆盘的静摩擦力提供，且Ff＝mω2rA9.(2019·北京十一学校期末)一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B(体积可忽略)，细绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图8所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)( )
图8
A.eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,h)) B.πeq \r(gh)
C.eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l)) D.2πeq \r(\f(l,g))
答案 A
解析 如图所示，设细绳与转动轴夹角为θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用；重力mg、水平面支持力FN、细绳拉力F，在竖直方向合力为零，则有Fcs θ＋FN＝mg，在水平方向上由牛顿第二定律有Fsin θ＝m(2πn)2R＝m(2πn)2htan θ，则n＝eq \f(1,2 π)eq \r(\f(Fcs θ,mh))，当小球即将离开水平面时FN＝0，F有最大值eq \f(mg,cs θ)，转速n有最大值，则有nmax＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,h))，故A正确，B、C、D错误.
10.(多选)如图9甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示.则( )
图9
A.小球的质量为eq \f(aR,b)
B.当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C.v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
答案 ACD
解析 当小球受到的弹力方向向下时，有F＋mg＝eq \f(mv2,R)，解得F＝eq \f(m,R)v2－mg；当弹力方向向上时，有mg－F＝meq \f(v2,R)，解得F＝mg－meq \f(v2,R).对比F－v2图像可知，a＝mg，当v2＝b时，F＝0，可得b＝gR，则g＝eq \f(b,R)，m＝eq \f(aR,b)，A正确，B错误；v2＝c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确；v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等，D正确.
二、非选择题
11.如图10所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B从水平地面上以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg.g为重力加速度，忽略空气阻力，求A、B两球落地点间的距离.
图10
答案 3R
解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差.
对A球由牛顿第二定律得
3mg＋mg＝meq \f(v\\al( 2,A),R)
解得A球通过最高点C时的速度大小为vA＝2eq \r(gR)
对B球由牛顿第二定律得
mg－0.75mg＝meq \f(v\\al( 2,B),R)
解得B球通过最高点C时的速度大小为vB＝eq \f(\r(gR),2)
A、B球做平抛运动的时间相同，由2R＝eq \f(1,2)gt2可得t＝eq \r(\f(2×2R,g))＝2eq \r(\f(R,g))
两球做平抛运动的水平分位移分别为
xA＝vAt＝4R
xB＝vBt＝R
A、B两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R.
12.如图11所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
图11
答案 eq \r(\f(g1－μ,r))≤ω≤eq \r(\f(g1＋μ,r))
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即
F＋Ffmax＝mrω12①
由于B静止，故有F＝mg②
又Ffmax＝μFN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝eq \r(\f(g1＋μ,r))
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Ffmax＝mrω22④
由②③④式可得ω2＝eq \r(\f(g1－μ,r))
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即eq \r(\f(g1－μ,r))≤ω≤eq \r(\f(g1＋μ,r)).
13.(拓展提升)如图12所示，质量为1 kg、大小不计的小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆在水平面内做匀速圆周运动.AB的距离等于绳长为1 m.(重力加速度g＝10 m/s2)
图12
(1)当ω1＝4 rad/s时，细绳AP和BP的拉力分别为多少？
(2)当ω2＝5 rad/s时，细绳AP和BP的拉力分别为多少？
答案 (1)0 16 N (2)2.5 N 22.5 N
解析 设AP刚伸直时小球做圆周运动的角速度为ω0
此时BP与竖直方向夹角为60°，AP拉力为0
球受力如图甲所示，
FT1sin 60°＝mω02Lsin 60°
FT1cs 60°＝mg
联立解得：
ω0＝2eq \r(5) rad/s
(1)当ω1＝4 rad/s＜ω0时，AP上拉力为0，设BP拉力为FT2，其与竖直方向夹角为θ，受力分析如图乙，
FT2sin θ＝mω12Lsin θ
解得FT2＝16 N
(2)当ω2＝5 rad/s＞ω0时，AP、BP上都有拉力，设分别为FT3、FT4，受力分析(如图丙)
FT4cs 30°＋FT3cs 30°＝mω22Lsin 60°
FT4sin 30°＝FT3sin 30°＋mg
联立解得FT3＝2.5 N，FT4＝22.5 N.