七年级上册数学期末复习知识点总结（附典型例题）学案

这是一份七年级上册数学期末复习知识点总结（附典型例题）学案，共36页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

七年级上册数学期末复习知识点总结
《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．
【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．
(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．
【答案与解析】
解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，
所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
＝a2-a+1．
∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【变式1】选择题
（1）已知四种说法：
①|a|=a时，a>0；|a|=-a时， a<0. ②|a|就是a与-a中较大的数.
③|a|就是数轴上a到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）有四个说法：
①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①②
（3）已知(-ab)3>0，则（ ）
A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0
（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）
A．120 B．-15 C．0 D．-120
（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3
【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C
【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为　 　．
【答案】9.6×106．

2.（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．
【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|.
【答案】2016.
【解析】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；
故答案为2016．
【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．
类型二、有理数的运算
3．(1)
(2)
(4)
(5)
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.
举一反三：
【变式】
（1）
（2）
【答案】

解：（1）





（2）


4. 先观察下列各式：；；
；…；，根据以上观察，计算：
…的值．
【答案与解析】
解：原式


【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算．
举一反三：
【变式】用简单方法计算：

【答案】
解：原式=
类型三、数学思想在本章中的应用
5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　，如果|AB|=2，那么x为　 　；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．

【答案与解析】
解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．
③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，
∴x+1≥0，x﹣2≤0，
∴﹣1≤x≤2．
④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；
当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；
当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．
故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．
【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．
类型四、规律探索
6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．
A．495 B．497 C．501 D．503
【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．
【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．
举一反三：
【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是．
《整式的加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；
3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】


【要点梳理】
要点一、整式的相关概念
1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点二、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
【典型例题】
类型一、整式的相关概念
1．（2016春•新泰市期中）下列说法正确的是（　　）
A．1﹣xy是单项式 B．ab没有系数
C．﹣5是一次一项式 D．﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式
【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案．
【答案】D．
【解析】解：A、1﹣xy是多项式，故A错误；
B、ab的系数是1，故B错误；
C、﹣5是单项式，故C错误；
D、﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式，故D正确；
故选：D．
【总结升华】本题考查了单项式，单项式的系数，多项式，多项式的次数等基本概念，关键是对这些基本概念一定要熟悉．

举一反三：
【变式1】（2014•佛山）多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（　　）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2
【答案】A
2a2b﹣ab2﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．
【变式2】若多项式是关于的二次三项式，则，，这个二次三项式为 .
【答案】
类型二、同类项及合并同类项
2．若是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.
【答案与解析】
解：因为是同类项，
所以 解得
当且时，
.
【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.
举一反三：
【变式】合并同类项．
(1)；
(2)．
【答案】
(1)原式＝

(2)原式
．
类型三、去（添）括号
3．化简．
【答案与解析】
解：原式＝．
【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．
举一反三：
【变式1】下列去括号正确的是( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【变式2】先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a的值代入求值．
【答案】

．
当时，原式＝0-0-4＝-4．
【变式3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;
　　　　(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．
【答案】（1）x＋y;　　　　（2）－b＋c，－b＋c
类型四、整式的加减
4. （2015春•无锡校级期中）已知x=2015，求代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16的值”时，马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？请你说明原因．
【答案与解析】
解：原式=6x2+4x+9x+6﹣6x2﹣18x+16=22，
结果不含x，故原式化简后与x的取值无关，
则马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的
【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，根据结果不含x，即可得证．此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C为( )．
　　A．5x2－y2－z2　　　　B．3x2－5y2－z2
　　C．3x2－y2－3z2 　　　D．3x2－5y2＋z2
【答案】B
类型五、化简求值
5.（2016春•盐城校级月考）先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|=2，y=，且xy＜0．
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出x的值，代入原式计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2=5xy2﹣2x2，
∵|x|=2，y=，且xy＜0，
∴x=﹣2，y=，
则原式=﹣﹣8=﹣．
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当x=…时，原式=….

举一反三：
【变式】已知，求代数式的值．
【答案】
设，则，原式．
又因为＝6，所以原式．
类型六、综合应用
6. 对于任意有理数x，比较多项式与的值的大小．
【答案与解析】
解：
∵
∴无论x为何值，＞．
【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
举一反三：
【变式】设, .
若且，求.

【答案】∵ ，，
∴ 即
∴



∵ 且，
∴
∴
,
.
《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；
2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；
3．会根据实际问题列方程解应用题．
【知识网络】


【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】
解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，
所以3m-4＝0且5-3m≠0．
由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．
将代入原方程，则原方程变为，解得．
所以，．
【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4＝0，而x的一次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.
【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.
（2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.
2. 如果5(x+2)＝2a+3与的解相同，那么a的值是________．
【答案】
【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得．
由，解得．
所以，解得．
【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．
举一反三：
【变式】（2015•温州模拟）已知3x=4y，则=　　．
【答案】．
解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，
得：=．

类型二、一元一次方程的解法
3．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．
【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案与解析】
解：原方程可化为6x﹣=，
两边同乘以6得36x﹣21x=5x﹣7，
解得：x=﹣0.7．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，注意第一步用到的是分数的基本性质：分子和分母扩大相同的倍数，分数的值不变.

举一反三：
【变式1】解方程
【答案】
解：把方程两边含有分母的项化整为零，得
．
移项，合并同类项得：，系数化为1得：z＝1．
【变式2】解方程： .
【答案】
解：把方程可化为：，
再去分母得：
解得：
4．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
【答案与解析】
解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：
3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．
合并同类项，得-6(2x-1)＝14． 系数化为1得：，解得．
【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．
类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程
5.解关于的方程：
【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系．
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当时，原方程有唯一解：；
当时，原方程无数个解；
当时，原方程无解；
【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．
2．解含绝对值的方程
6. 解方程|x-2|＝3．
【答案与解析】
解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．
当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．
所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．

举一反三：
【变式1】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，
则的大小关系为： ( )
A. B. C. D.

【答案】A
【变式2】若是方程的解，则；又若当时，则方程的解是 ．
【答案】1； 9或3．
类型四、一元一次方程的应用
7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?

【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．
【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：
，解得：
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)．
李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：
(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．
8.（2015春•万州区校级月考）一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【答案与解析】
解：设乙还需x天完成，由题意得
4×（+）+=1，
解得x=5．
答：乙还需5天完成．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
举一反三：
【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
【答案】
解：设售货员可以打折出售此商品，得：

解得：
答：售货员最低可以打六折出售此商品．
《几何图形初步》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；
2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．
【知识网络】


























【要点梳理】
要点一、多姿多彩的图形
1． 几何图形的分类
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

平面图形：三角形、四边形、圆等.

几何图形




要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
要点诠释：
①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；
②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.
（2）从不同方向看：
主（正）视图----------从正面看
几何体的三视图 左视图----------------从左边看
俯视图----------------从上面看

要点诠释：
①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
（3）几何体的构成元素及关系
几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
要点二、直线、射线、线段
1. 直线，射线与线段的区别与联系

2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线。
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：





4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。



（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：


要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.


要点三、角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°<∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°



（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.




3．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点诠释：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【典型例题】
类型一、概念或性质的理解
1.下列判断错误的有( )
①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．
【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．
举一反三：
【变式】下列说法正确的个数有( )
①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B 提示：③正确
类型二、立体图形与平面图形的相互转化
1. 展开与折叠问题
2．（2016•徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．
【答案】C
【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：














故选：C．
【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．

举一反三：
【变式】已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时，所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图(如图)是( )．

【答案】D
2.从不同方向看
3.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如图1所示．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )．

A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解析】第一次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是5，右面的是3，正面是1，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，面向上的应当是5，右面的是1，正面是4；第二次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是6，右面的是5，正面是4，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，面向上的应当是6，右面的是4，正面是2；第三次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是3，右面的是6，正面是2，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，正面向上的应当是3，右面的是2，正面是1，就回到了初始状态．所以每完成三次变换即可回到原来的位置，所以第十次变换后的状态与第一次变换后的状态相同，所以朝上一面的点数是5．
【总结升华】先找到规律再从上面看便得答案．
举一反三：
【变式1】沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )．


【答案】D
【变式2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】D
类型三.互余互补的有关计算
4.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于( )

A．330° B．315° C．310° D．320°
【答案】B
【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．
【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关．
举一反三：
【变式】（2015•沂源县校级模拟）如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠COE等于64°，则∠AOD等于　　度．


【答案】 26°．
解：∵OE平分∠BOC，∠COE=64°
∴∠BOC=2∠COE=128°
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣128=52°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠AOC=×52°=26°．
类型四.方向角
5.用A、B、C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB等于( )
A．35° B．55° C．60° D．84°
【思路点拨】根据方位角的概念，分清方向，正确地画出图形，即可求解．
【答案】B
【解析】根据题意画出图形如下：










∵∠ACB与35°互余，∴∠ACB=90°－35°＝55°
【总结升华】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．
举一反三：
【变式】考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图(1)中画出射线OA、OB，并计算∠AOB的度数．







【答案】
解：如图(2)，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA；以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°-(45°+60°)＝75°．

类型五.利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
6. 如图所示，B、C是线段AD上的两点，且，AC＝35cm，BD＝44cm，求线段AD的长．

【答案与解析】
解：设AB＝x cm，则
或
于是列方程，得
解得：x＝18，即AB＝18(cm)
所以BC＝35-x＝35-18＝17(cm)
(cm)
所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62(cm)
【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解．
2.分类的思想方法
7. 同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD＝DB，AC＝CB，且CD＝4cm，求AB的长．
【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小．
【答案与解析】
解：利用条件中的AD＝DB，AC＝CB，设DB＝9x，CB＝5y，
则AD＝5x，AC＝9y，分类讨论：
（1）当点D，C均在线段AB上时，如图所示：

∵ AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴ x＝y
∵ CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴ x＝1，∴ AB＝14x＝14(cm)．
（2）当点D，C均不在线段AB上时，如图所示：方法同上，解得(cm)．

（3）如图所示，当点D在线段AB上而点C不在线段AB上时，方法同上，解得(cm)．

（4）如图所示，当点C在线段AB上而点D不在线段AB上时，方法同上，解得(cm)．

综上可得：AB的长为14cm，cm， cm．
【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．
类型六.钟表上的角
8. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．





【答案与解析】
解：设时针转过的度数为x°时，与分针第一次重合，依题意有
12x＝90+x
解得
答：时针转过时，与分针第一次重合．
【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决．