高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案
展开知识点 两角和与差的正切公式
1.tan 105°的值为________.
答案 -2-eq \r(3)
2.若tan α=3,tan β=eq \f(4,3),则tan(α-β)=________.
答案 eq \f(1,3)
3.若tan α=2,则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=________.
答案 -3
4.eq \f(tan 75°-tan 15°,1+tan 75°·tan 15°)=________.
答案 eq \r(3)
一、化简求值
例1 化简求值:
(1)eq \f(tan 74°+tan 76°,1-tan 74°tan 76°);
(2)eq \f(1+tan 15°,\r(3)-tan 60°tan 15°);
(3)tan 23°+tan 37°+eq \r(3)tan 23°tan 37°.
解 (1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-eq \f(\r(3),3).
(2)原式=eq \f(tan 45°+tan 15°,\r(3)1-tan 45°tan 15°)
=eq \f(1,\r(3))tan(45°+15°)
=eq \f(1,\r(3))tan 60°=1.
(3)∵tan 60°=eq \r(3)=eq \f(tan 23°+tan 37°,1-tan 23°tan 37°),
∴tan 23°+tan 37°=eq \r(3)-eq \r(3)tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+eq \r(3)tan 23°tan 37°=eq \r(3).
(学生留)
反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”,“eq \r(3)”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan eq \f(π,4)”,“eq \r(3)=tan eq \f(π,3)”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.
跟踪训练1 化简求值:
(1)eq \f(1-tan 15°,1+tan 15°);
(2)tan 10°·tan 20°+eq \r(3)(tan 10°+tan 20°).
解 (1)eq \f(1-tan 15°,1+tan 15°)=eq \f(tan 45°-tan 15°,1+tan 15°tan 45°)
=tan(45°-15°)=tan 30°=eq \f(\r(3),3).
(2)∵tan(10°+20°)=eq \f(tan 10°+tan 20°,1-tan 10°·tan 20°)=eq \f(\r(3),3),
∴tan 10°+tan 20°=eq \f(\r(3),3)(1-tan 10°·tan 20°).
∴原式=tan 10°·tan 20°+eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)(1-tan 10°·tan 20°)
=tan 10°·tan 20°+1-tan 10°tan 20°
=1.
二、给值求值(角)
例2 (1)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))=eq \f(1,5),则tan α=________.
答案 eq \f(3,2)
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(5π,4)))=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))=eq \f(1,5).
方法一 eq \f(tan α-1,1+tan α)=eq \f(1,5),解得tan α=eq \f(3,2).
方法二 tan α=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))+\f(π,4)))=eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4)))+1,1-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,4))))=eq \f(\f(1,5)+1,1-\f(1,5))=eq \f(3,2).
(2)已知tan(α-β)=eq \f(1,2),tan β=-eq \f(1,7),α,β∈(0,π),求2α-β的值.
解 ∵tan β=-eq \f(1,7),tan(α-β)=eq \f(1,2),
∴tan α=tan[(α-β)+β]
=eq \f(tanα-β+tan β,1-tanα-βtan β)
=eq \f(\f(1,2)-\f(1,7),1-\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,7))))=eq \f(1,3),
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
=eq \f(tanα-β+tan α,1-tanα-βtan α)
=eq \f(\f(1,2)+\f(1,3),1-\f(1,3)×\f(1,2))=1.
∵tan α=eq \f(1,3)>0,tan β=-eq \f(1,7)<0,
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),∴α-β∈(-π,0).
又∵tan(α-β)=eq \f(1,2)>0,
∴α-β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-π,-\f(π,2))),2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).
而tan(2α-β)=1,∴2α-β=-eq \f(3,4)π.
反思感悟 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
跟踪训练2 已知tan α=eq \f(1,3),tan β=-2,且0<α
(2)角α+β的值.
解 (1)tan(α-β)=eq \f(tan α-tan β,1+tan α·tan β)
=eq \f(\f(1,3)--2,1+\f(1,3)×-2)=7.
(2)∵tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan α·tan β)=eq \f(\f(1,3)+-2,1-\f(1,3)×-2)
=-1,
又0<α
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 △ABC的三个内角分别为A,B,C,若tan A,tan B是方程3x2-6x+2=0的两根,试判断△ABC的形状.
解 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan A+tan B=2>0,,tan A·tan B=\f(2,3)>0,))
∴tan A>0,tan B>0,又A,B,C∈(0,π),
∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
又tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
=-eq \f(tan A+tan B,1-tan Atan B)=-eq \f(2,1-\f(2,3))=-6<0.
∴C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),
∴△ABC为钝角三角形.
反思感悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围.
跟踪训练3 如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
解 由AB+BP=PD,得a+BP=eq \r(a2+2a-BP2),
解得BP=eq \f(2,3)a,
设∠APB=α,∠DPC=β,
则tan α=eq \f(AB,BP)=eq \f(3,2),tan β=eq \f(CD,PC)=eq \f(3,4),
∴tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)=-18,
∠APD+α+β=π,∴tan∠APD=18.
1.tan 255°等于( )
A.-2-eq \r(3) B.-2+eq \r(3)
C.2-eq \r(3) D.2+eq \r(3)
答案 D
解析 tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°
=tan(45°+30°)=eq \f(tan 45°+tan 30°,1-tan 45°tan 30°)
=eq \f(1+\f(\r(3),3),1-\f(\r(3),3))=2+eq \r(3).
2.若tan β=3,tan(α-β)=-2,则tan α等于( )
A.eq \f(1,7) B.-eq \f(1,7) C.1 D.-1
答案 A
解析 tan α=tan[(α-β)+β]=eq \f(tanα-β+tan β,1-tanα-βtan β)=eq \f(-2+3,1--2×3)=eq \f(1,7).
3.已知A,B都是锐角,且tan A=eq \f(1,3),sin B=eq \f(\r(5),5),则A+B=________.
答案 eq \f(π,4)
解析 ∵B为锐角,sin B=eq \f(\r(5),5),∴cs B=eq \f(2\r(5),5),∴tan B=eq \f(1,2),
∴tan(A+B)=eq \f(tan A+tan B,1-tan Atan B)=eq \f(\f(1,3)+\f(1,2),1-\f(1,3)×\f(1,2))=1.
又∵04.计算tan 72°-tan 42°-eq \f(\r(3),3)tan 72°tan 42°=________.
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°tan 42°)-eq \f(\r(3),3)tan 72°tan 42°
=tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°
=tan 30°=eq \f(\r(3),3).
5.计算eq \f(\r(3)-tan 15°,1+\r(3)tan 15°)=________.
答案 1
解析 eq \f(\r(3)-tan 15°,1+\r(3)tan 15°)=eq \f(tan 60°-tan 15°,1+tan 60°tan 15°)=tan 45°=1.
1.知识清单:
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:公式中加减符号易记错.
1.与eq \f(1-tan 21°,1+tan 21°)相等的是( )
A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21°
答案 B
解析 原式=eq \f(tan 45°-tan 21°,1+tan 45°tan 21°)=tan(45°-21°)
=tan 24°.
2.(多选)已知cs α=-eq \f(4,5),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))等于( )
A.-eq \f(1,7) B.-7 C.eq \f(1,7) D.7
答案 CD
解析 因为cs α=-eq \f(4,5),
所以sin α=±eq \r(1-cs2α)=±eq \f(3,5),
所以tan α=±eq \f(3,4).
当tan α=eq \f(3,4)时,taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(1-tan α,1+tan α)=eq \f(1,7);
当tan α=-eq \f(3,4)时,taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(1-tan α,1+tan α)=7.
3.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°等于( )
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1-m) C.eq \r(3)(m-1) D.eq \r(3)(m+1)
答案 B
解析 ∵28°+32°=60°,
∴tan 60°=tan(28°+32°)=eq \f(tan 28°+tan 32°,1-tan 28°tan 32°)=eq \r(3),
∴tan 28°+tan 32°=eq \r(3)(1-m).
4.已知tan(α+β)=eq \f(2,5),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(1,4),那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))
等于( )
A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,22) C.eq \f(3,22) D.eq \f(3,18)
答案 C
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α+β-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))))=eq \f(\f(2,5)-\f(1,4),1+\f(2,5)×\f(1,4))=eq \f(3,22).
5.若α+β=eq \f(3π,4),则(1-tan α)·(1-tan β)等于( )
A.eq \r(3) B.2 C.1+eq \r(2) D.不确定
答案 B
解析 ∵α+β=eq \f(3,4)π,
∴tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan α·tan β)=-1,
∴tan α+tan β=tan α·tan β-1,
∴(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan α·tan β=1-(tan α·tan β-1)+tan α·tan β=2.
6.已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则eq \f(1,tanα+β)=________,α-β=________.
答案 -7 -45°
解析 eq \f(1,tanα+β)=eq \f(1-tan αtan β,tan α+tan β)=-7.
因为tan(α-β)=eq \f(tan α-tan β,1+tan αtan β)=-1,
又0°<α<90°,90°<β<180°,
所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.
7.eq \f(sin 15°-cs 15°,sin 15°+cs 15°)=________.
答案 -eq \f(\r(3),3)
解析 eq \f(sin 15°-cs 15°,sin 15°+cs 15°)=eq \f(tan 15°-1,tan 15°+1)
=eq \f(tan 15°-tan 45°,1+tan 15°tan 45°)=tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-eq \f(\r(3),3).
8.已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))=eq \f(1,2),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2)))=-eq \f(1,3),则taneq \f(α+β,2)=________.
答案 eq \f(1,7)
解析 taneq \f(α+β,2)=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2)))))
=eq \f(\f(1,2)-\f(1,3),1-\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3))))=eq \f(1,7).
9.已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=2,tan β=eq \f(1,2).
(1)求tan α的值;
(2)求eq \f(sinα+β-2sin αcs β,2sin αsin β+csα+β)的值.
解 (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))=2,
∴eq \f(tan \f(π,4)+tan α,1-tan \f(π,4)tan α)=2,
∴eq \f(1+tan α,1-tan α)=2,解得tan α=eq \f(1,3).
(2)原式=eq \f(sin αcs β+cs αsin β-2sin αcs β,2sin αsin β+cs αcs β-sin αsin β)
=eq \f(cs αsin β-sin αcs β,cs αcs β+sin αsin β)=eq \f(sinβ-α,csβ-α)
=tan(β-α)=eq \f(tan β-tan α,1+tan βtan α)
=eq \f(\f(1,2)-\f(1,3),1+\f(1,2)×\f(1,3))=eq \f(1,7).
10.在△ABC中,tan B+tan C+eq \r(3)tan Btan C=eq \r(3),eq \r(3)tan A+eq \r(3)tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC的形状.
解 由tan B+tan C+eq \r(3)tan Btan C=eq \r(3)得
tan(B+C)=eq \f(tan B+tan C,1-tan Btan C)
=eq \f(\r(3)-\r(3)tan Btan C,1-tan Btan C)=eq \r(3),
又0又由eq \r(3)tan A+eq \r(3)tan B+1=tan Atan B得
tan(A+B)=eq \f(tan A+tan B,1-tan A·tan B)
=eq \f(\f(\r(3),3)tan A·tan B-1,1-tan A·tan B)=-eq \f(\r(3),3).
又0由①②及A+B+C=π,解得B=eq \f(π,6),C=eq \f(π,6),A=eq \f(2π,3).
∴△ABC为等腰三角形.
11.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=eq \f(2\r(3),3),则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
答案 B
解析 因为C=120°,所以A+B=60°,
所以tan(A+B)=eq \f(tan A+tan B,1-tan A·tan B)=eq \r(3),
因为tan A+tan B=eq \f(2\r(3),3),
所以tan A+tan B=eq \r(3)(1-tan A·tan B)=eq \f(2\r(3),3),
解得tan A·tan B=eq \f(1,3).
12.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( )
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
解析 由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,
(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)
=4.
13.已知eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=________.
答案 eq \f(4,3)
解析 由条件知eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=eq \f(tan α+1,tan α-1)=3,
则tan α=2,因为tan(α-β)=2,
所以tan(β-α)=-2.
故tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
=eq \f(tanβ-α-tan α,1+tanβ-αtan α)=eq \f(-2-2,1+-2×2)=eq \f(4,3).
14.已知α,β,γ都是锐角,且tan α=eq \f(1,2),tan β=eq \f(1,5),tan γ=eq \f(1,8),则α+β+γ=________.
答案 eq \f(π,4)
解析 ∵tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)
=eq \f(\f(1,2)+\f(1,5),1-\f(1,2)×\f(1,5))=eq \f(7,9),
tan(α+β+γ)=eq \f(tanα+β+tan γ,1-tanα+βtan γ)=eq \f(\f(7,9)+\f(1,8),1-\f(7,9)×\f(1,8))=1,
∵α,β,γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
∴α+β∈(0,π),
又tan(α+β)=eq \f(7,9)>0,
∴α+β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
∴α+β+γ∈(0,π),
∴α+β+γ=eq \f(π,4).
15.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan2α+tan2β的值为________.
答案 3
解析 因为tan(α+β)=4,所以eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)=4,
又tan α+tan β=2,所以tan αtan β=eq \f(1,2),
所以tan2α+tan2β=(tan α+tan β)2-2tan αtan β
=22-2×eq \f(1,2)=3.
16.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=eq \f(2π,3),(2)tan eq \f(α,2)tan β=2-eq \r(3)同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.
解 假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=eq \f(2π,3),
(2)tan eq \f(α,2)tan β=2-eq \r(3)同时成立.
由(1)得eq \f(α,2)+β=eq \f(π,3),
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)+β))=eq \f(tan\f(α,2)+tan β,1-tan\f(α,2)tan β)=eq \r(3).
又tan eq \f(α,2)tan β=2-eq \r(3),
所以tan eq \f(α,2)+tan β=3-eq \r(3),
因此tan eq \f(α,2),tan β可以看成方程x2-(3-eq \r(3))x+2-eq \r(3)=0的两个根,设方程的两根为x1,x2,
解得x1=1,x2=2-eq \r(3).
若tan eq \f(α,2)=1,则α=eq \f(π,2),这与α为锐角矛盾,
所以tan eq \f(α,2)=2-eq \r(3),tan β=1,
所以α=eq \f(π,6),β=eq \f(π,4),
所以满足条件的α,β存在,且α=eq \f(π,6),β=eq \f(π,4).名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切公式
tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)
T(α+β)
α,β,α+β≠kπ+eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切公式
tan(α-β) =eq \f(tan α-tan β,1+tan αtan β)
T(α-β)
α,β,α-β≠kπ+eq \f(π,2)(k∈Z)
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