人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案，共12页。学案主要包含了对数运算性质的应用，换底公式的应用，对数运算性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

4．3.2　对数的运算
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

知识点一　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
拓展：＝logaM(n∈R，m≠0)
思考　当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
答案　不一定．
知识点二　换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
思考　换底公式中底数c是特定数还是任意数？
答案　是大于0且不等于1的任意数．

1．log84＋log82＝________.
答案　1
解析　log84＋log82＝log88＝1.
2．log510－log52＝________.
答案　1
解析　log510－log52＝log55＝1.
3．(1)lg＝________；
(2)已知ln a＝0.2，则ln＝________.
答案　(1)　(2)0.8
解析　lg ＝＝；
ln＝ln e－ln a＝1－0.2＝0.8.
4.＝________.
答案　2
解析　＝log39＝2.

一、对数运算性质的应用
例1　计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
反思感悟　对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
跟踪训练1　计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)方法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
方法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7
＝lg＝lg(·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
二、换底公式的应用
例2　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解　(1)原式＝
＝·＝×＝.
(2)方法一　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝
＝＝＝.
方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
(教师)
延伸探究
若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)
解　因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝＝
＝＝
＝＝
＝＝.
反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

跟踪训练2　(1)的值是(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　A
解析　方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即＝＝·＝.
方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
即＝＝＝.
(2)计算：.
解　原式＝·
＝·＝·
＝－·log32·3log23＝－.
三、对数运算性质的综合应用
例3　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解　(1)方法一　由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
跟踪训练3　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
解　∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.

1．求值：2log510＋log50.25等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　C
解析　2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25
＝log525＝2.
2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；
③logax＝－loga；④＝logax；
⑤＝loga.
其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　A
解析　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．
3．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.
答案　1
解析　因为2a＝5b＝10，
所以a＝log210，b＝log510.
根据换底公式得a＝，b＝，
所以＋＝lg 2＋lg 5＝1.
4．log23·log34·log42＝________.
答案　1
解析　log23·log34·log42＝··＝1.
5.＝________.
答案　2
解析　原式＝＝＝＝2.

1．知识清单：
(1)对数的运算性质．
(2)换底公式．
(3)对数的实际应用．
2．方法归纳：换底公式、转化法．
3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．


1．log242＋log243＋log244等于(　　)
A．1 B．2 C．24 D.
答案　A
解析　log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)
＝log2424＝1.
2．化简＋log2得(　　)
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
答案　B
解析　＝
＝2－log23.
∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.
3．0.25－＋log23·log34的值为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　D
解析　原式＝－＋×
＝－＋×＝.
4．已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg ＝lg a－lg b；
③lg 2＝lg；
④lg(ab)＝，其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
答案　D
解析　①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立．
5．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　log36＝＝＝.
6．lg ＋lg的值是________．
答案　1
解析　lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
7．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________．
答案　
解析　方法一　由已知可得··＝2，
即＝2，∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝.
方法二　由已知得logab··＝2，
即loga3＝2，∴a＝.
8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案　4
解析　因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
9．求值：(1)lg 5·lg 400＋；
(2)＋log0.25＋9log5－.
解　(1)原式＝lg 5·(2＋2lg 2)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2·lg 5＋2(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2·(lg 5＋lg 2)
＝2lg 5＋2lg 2
＝2.
(2) ＋log0.25＋9log5－
＝2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
10．计算下列各式的值：
(1)log535＋－log5－log514；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
解　(1)原式＝log535＋log550－log514＋
＝log5＋
＝log553－1＝2.
(2)方法一　原式
＝
＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
方法二　原式＝

＝
＝＝13.

11．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且，a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以abc＝.即logx(abc)＝.
12．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)
A．p2＋q2 B.(3p＋2q)
C. D．pq
答案　C
解析　∵log83＝＝＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵log35＝＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝.
13．已知函数f(x)＝，则f(log23)＋f ＝________.
答案　1
解析　∵log23＋log4＝log23－log23＝0，
f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1.
∴f(log23)＋f ＝1.
14．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f ＝4，则f(2 020)＝________.
答案　0
解析　由f ＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 020－blog32 020＝2.
∴alog22 020＋blog32 020＝－2.
∴f(2 020)＝alog22 020＋blog32 020＋2＝－2＋2＝0.

15．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为________．
答案　1
解析　方法一　设ax＝by＝cz＝t(t>0)，
则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，
∴＋＋＝＋＋
＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，
∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
方法二　令ax＝by＝cz＝t，
∵a，b，c是不等于1的正数，xyz≠0，
∴t>0且t≠1，∴x＝，y＝，z＝，
∴＋＋＝＋＋
＝，
∵＋＋＝0，且lg t≠0，
∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.
16．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at.
(1)试用a，t表示y；
(2)若当0 解　(1)由换底公式，
得logax＋－＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2－3t＋3.
所以y＝(t≠0)．
(2)y＝，因为01，
所以当t＝时，ymin＝＝8.
所以a＝16，此时x＝＝64.