北师大版九年级下册4 二次函数的应用第1课时同步练习题

初中数学·北师大版·九年级下册——第二章　二次函数

4　二次函数的应用

第1课时

测试时间:35分钟

一、选择题

1.(2019河北石家庄二十三中期中)在长为10 cm,宽为6 cm的长方形硬纸片中,剪去一个边长为a cm的正方形,则剩余硬纸片的面积S(cm2)与a(cm)之间的函数关系式及a的取值范围是              (　　)

A.S=4a,a>0　　　　　      B.S=60-4a,0<a≤6

C.S=60-a2,0<a≤6　　　　　D.S=60-a2,6<a≤10

2.如图,利用篱笆及两面互相垂直的墙(墙足够长)围成一个矩形,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是              (　　)

A.60 m2　　　　B.63 m2　　　　C.64 m2　　　　D.66 m2

3.(2021山东济南槐荫期末)小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y=-x2+x+,则小强此次成绩为              (　　)

A.8米　　　　B.10米　　　　C.12米　　　　D.14米

4.(2021陕西西安交大附中一模)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2.5 m,则水面的宽度为              (　　)

A.3 m　　　　B.6 m　　　　C.8 m　　　　D.9 m

5.如图,在直角三角形BEF的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=x m,长方形的面积为y m2,要使长方形的面积最大,则x应为              (　　)

A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.

6.(2019河北唐山乐亭期末)如图,某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室的最大面积为              (　　)

A.75 m2　　　　B. m2　　　　C.48 m2　　　　D. m2

7.(2021广东汕头金园实验中学期中)如图,等边△ABC的边长为3 cm,动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度,沿A→B→C运动,到达点C时停止,设运动时间为x(s),y=PC2,则y关于x的函数图象大致为              (　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

二、填空题

8.(2019辽宁沈阳和平三月模拟)体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处为喷头,向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如图2),水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=-x2+4x+(x>0),那么圆形喷水池的半径至少为　　　　米,才能使喷出的水流不落在池外. 

9.如图所示,AB=6,点C是AB上一点,点D是AC的中点,分别以AD,DC,CB为边作正方形,则当AC=　　　　时,三个正方形的面积之和最小. 

三、解答题

10.(2020山东济南历下期末)如图,要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃ABCD,其中两边靠的墙足够长,中间用平行于AB的篱笆EF隔开,已知篱笆的总长度为18 m.设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x m,矩形苗圃ABCD的面积为y m2.

(1)求y与x的函数关系式;

(2)求所围矩形苗圃ABCD的最大面积;

(3)当所围矩形苗圃ABCD的面积为40 m2时,AB的长为多少m?

11.某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示),现在其中修建一条观花道(阴影部分),供游人赏花,设改造后剩余油菜花田地面积为y m2.

(1)求y与x的函数表达式;

(2)若改造后观花道的面积为13 m2,求x的值;

(3)若要求0.5≤x≤1,求改造后剩余油菜花田地面积的最大值.

12.(2021广东汕头金园实验中学期中)如图是400米跑道的示意图,中间的足球场ABCD是矩形,两边是半圆,直道AB的长是多少?

你一定知道是100米!可你也许不知道,这不仅仅是为了比赛的需要,还有另外一个原因,等你做完本题就明白了.设AB=x米.

(1)请用含x的代数式表示BC;

(2)设矩形ABCD的面积为S平方米.

①求出S关于x的函数表达式;

②当直道AB的长为多少米时,矩形ABCD的面积最大?

13.某社区决定把一块长50 m,宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口的宽度相同,宽度不小于14 m且不大于26 m,设绿化区较长边的长为x m,活动区的面积为y m2.

(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;

(2)求活动区的最大面积;

(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,若社区该项目建设的投资费用不得超过72 000元,求投资费用最少时活动区的出口宽度.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　C　由题意可得,长方形硬纸片的面积为10×6=60(cm2),剪去的正方形硬纸片的面积为a2 cm2,∴S=60-a2,0<a≤6.

2.答案　C　设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,则AB=(16-x)m,根据题意得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.

3.答案　B　在y=-x2+x+中,当y=0时,-x2+x+=0,解得x1=-2(舍去),x2=10,即小强此次成绩为10米,故选B.

4.答案　B　建立平面直角坐标系,如图所示:

易得A(-2,0),B(2,0),抛物线的顶点C的坐标为(0,2),设抛物线的解析式为y=ax2+2,把A点坐标(-2,0)代入得4a+2=0,解得a=-0.5,∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+2,当水面下降2.5 m,即当y=-2.5时,-2.5=-0.5x2+2,解得x=±3,∴水面的宽度为3-(-3)=6(m).故选B.

5.答案　D　∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC,

∴△EAD∽△EBF,∴=,

∵AB=x m,∴EA=(5-x)m,

∴AD== m.

∴y=x·,整理得y=-x2+12x=-+15.

∵-<0,∴长方形的面积有最大值,

由题意得0<x<5,∴当x=时,y取最大值.

6.答案　A　设垂直于墙的一边长为x m,

则平行于墙的一边长为27+3-3x=(30-3x)m,

设饲养室的面积为S m2,则S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,

当x=5时,S有最大值,S最大值=75,

故能建成的饲养室的最大面积为75 m2,故选A.

7.答案　C　如图,过C作CD⊥AB交AB于D,∵△ABC是等边三角形且边长为3 cm,∴∠A=∠B=∠ACB=60°,AC=3 cm,则AD=1.5 cm,CD= cm.

①当点P在线段AB上时,AP=x cm,∴PD=|1.5-x|cm,∴y=PC2=+(1.5-x)2=x2-3x+9(0≤x≤3),∴该函数图象是开口向上的抛物线;

②当3<x≤6,即点P在线段BC上时(不包括B点),PC=(6-x)cm,

则y=(6-x)2=(x-6)2(3<x≤6),∴该函数图象是开口向上的抛物线.故选C.

二、填空题

8.答案　

解析　在y=-x2+4x+(x>0)中,当y=0时,-x2+4x+=0,

解得x1=-,x2=,

∵x>0,∴x=,即OB=米.

∴圆形喷水池的半径至少为米,才能使喷出的水流不落在池外.

9.答案　4

解析　设AC的长为x,三个正方形的面积之和为y,则BC=6-x,AD=CD=,∴y=2×+(6-x)2

= x2-12x+36(0<x<6).∴当x=-=4,即AC=4时,三个正方形的面积之和最小.

三、解答题

10.解析　(1)∵AB=x m,∴BC=(18-2x)m,根据题意得y=x(18-2x),即y=-2x2+18x.

(2)∵二次函数y=-2x2+18x(0<x<9),a=-2<0,∴二次函数的图象开口向下,且当x=-=时,y取得最大值,y最大值=-2×+18×=.

答:所围矩形苗圃ABCD的最大面积为 m2.

(3)令y=40,得到-2x2+18x=40,即x2-9x+20=0,(x-4)(x-5)=0,解得x=4或x=5,则AB的长为4 m或5 m.

答:当所围矩形苗圃ABCD的面积为40 m2时,AB的长为4 m或5 m.

11.解析　(1)由题意可得y=(8-x)(6-x),即y=x2-14x+48(0<x<6).

(2)由题意可得y=6×8-13=35,则x2-14x+48=35,即(x-1)(x-13)=0,

解得x1=1,x2=13,经检验,x=13不合题意,舍去,故x=1.

(3)y=x2-14x+48=(x-7)2-1.

当0.5≤x≤1时,y随x的增大而减小,故当x=0.5时,y最大,y最大值=(0.5-7)2-1=41.25.

答:改造后剩余油菜花田地面积的最大值为41.25 m2.

12.解析　(1)由题意可得π·BC=,

∴BC=米.

(2)①∵四边形ABCD是矩形,

∴S=·x=-(x-100)2+.

②当x=100时,S最大.

答:当直道AB的长为100米时,矩形ABCD的面积最大.

13.解析　(1)根据题意得,绿化区的宽为[30-(50-2x)]÷2=(x-10)m,

∴y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1 500,

∵4个出口的宽度相同,宽度不小于14 m且不大于26 m,

∴14≤50-2x≤26,即12≤x≤18,

∴y=-4x2+40x+1 500(12≤x≤18).

(2)y=-4x2+40x+1 500=-4(x-5)2+1 600,

∵a=-4<0,∴抛物线的开口向下,

又对称轴为直线x=5,∴当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,

∴当x=12时,y取得最大值,y最大值=1 404.

答:活动区的最大面积为1 404 m2.

(3)设投资费用为w元,

由题意得w=50(-4x2+40x+1 500)+40×4x(x-10)=-40(x-5)2+76 000,

当w=72 000时,-40(x-5)2+76 000=72 000,

解得x1=-5(不符合题意,舍去),x2=15,

∵a=-40<0,

∴当x≥15时,w≤72 000,

又∵12≤x≤18,∴15≤x≤18,

∵a=-40<0,∴抛物线开口向下,又对称轴为直线x=5,

∴当15≤x≤18时,w随x的增大而减小,

∴当x=18时,投资费用最少,此时活动区的出口宽度为50-2x=50-2×18=14(m).

答:投资费用最少时活动区的出口宽度为14 m.