专题三导数与函数极值、最值

专题三       导数与函数极值、最值

例题1．已知函数.求函数的极值.

解:∵又，

由得或，

当和时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数，

由的单调性知函数的极小值为，极大值为.

例题2．已知函数在处取得极值7．

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的最大值

解:（1）因为，所以，

又函数在处取得极值7，

，解得；，

所以，

由得或；由得；满足题意；

（2）又，

由（1）得在上单调递增，在上单调递减，

因此．

例题3．已知函数.

（1）讨论函数的单调性.

（2）若，当时，求的最小值.

解：（1）因为，所以.

令，解得或.

①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

②当时，令得或，令得，

即函数在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，令得或，令得，

即函数在，上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）知时，在上单调递减，在上单调递增；

①当，即时，在上单调递减，，

②当，即时，在在上单调递减，在上单调递增，

所以.

巩固1．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）求在上的最小值．

解：（1）的定义域为，

当时，

当时，，则的单调递增区间为；

当时，，则的单调递减区间为.

（2）

当时，在上单调递减，

此时，

当时，在上单调递增，

此时，

当时，若，则单调递减；

若，则单调递增

此时，．

综上所述：

巩固2．已知函数.

（1）若是的极值点，求的单调区间；

（2）求在区间上的最小值.

解：（1）的定义域为，

.

因为是的极值点，所以，解得，

所以，

当时，；当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），则，

令，得或.

①当，即时，在上为增函数，；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以；

③当，即时，在上为减函数，

所以.综上所述，.

【素养提升】

1.已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的极大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由，得．

由曲线在点处的切线方程为，

得，，

解得．

（Ⅱ），．

，解得；

，解得；

所以函数的增区间：；减区间：，

时，函数取得极大值，函数的极大值为．

2.已知函数.

（1）若是函数的极值点，试求实数的值并求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试求实数的取值范围.

【答案】（1）1, 函数的单调减区间为函数的单调增区间为；（2）.

【解析】（1）函数的定义域为

又，由题意，，

当时，令得，令得，

所以函数的单调减区间为函数的单调增区间为，

此时函数取极小值故符合题意；

（2）由恒成立得恒成立，又定义域为，

所以恒成立即，

令则，令得所以函数在上单调增，在单调减，函数，所以.

3.已知函数.

（Ⅰ）当曲线在时的切线与直线平行，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ），

由，得.

当时，，

，

曲线在处的切线方程为，即.

（Ⅱ）.

（1）当时，，所以，在递减，无极值.

（2）当时，由得.

随的变化、的变化情况如下：

故有极大值，无极小值；

，

由，∵，∴.

所以，当的极大值为正数时，实数的取值范围为.

4．（2019·福建）已知函数，若在处取得极值.

（Ⅰ）求实数的值及的单调区间；

（Ⅱ）若方程有且只有一个根，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）  由已知，

经检验符合题意 令得或

当变化时，的变化如下表：

由上表知，的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知的极大值为，

的极小值为，

要使方程有且只有一个根，等价于或，

所以实数的取值范围是

5（2019·北京）已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上存在极值点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ） 当时，，.

所以，                                 

所以 ，，

曲线在点处的切线方程为，

整理得                                    

（Ⅱ）因为，.

所以，                      

依题意，在区间上存在变号零点.              

因为，设，所以在区间上存在变号零点.  

因为，                                

所以，当时，，，所以，即，

所以在区间上为单调递增函数，                

依题意，      即                 

解得  .                                   

所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是.

6.已知时，函数有极值.

（1）求实数的值；

（2）若方程恰有个实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，所以．

又因为当时，的极值为，所以，

解得 .

（2）由（1）可得，则，

令，得x＝±1，

当或时，单调递增，

当时，，单调递减；

所以当时取得极大值，，

当时取得极小值，，

大致图象如图所示：

要使方程恰有1个解，只需或．

故实数的取值范围为.