专题05 三角形有关的数学方法-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版

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类型一转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.是将不易解决的问题,设法变成容易解决的问题,在研究数学问题时,我们通常是将未知的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题.将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,将不熟悉的问题转化为已学过的问题.
例1“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【点拨】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增180度，由此即可求出答案．
解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
练1 如图1六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为m度，如图2六边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6为n度，则m﹣n＝ 0 ．
解：如图，
将图1和图2的多边形转化为两个三角形和一个四边形，
图1中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2×180°+360°＝720°，
图2中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2×180°+360°＝720°，
∴m＝n＝720°∴m﹣n＝0．故答案为0．
类型二分类讨论思想
分类讨论思想是指当一个数学问题在一定的题设下,其结论并不唯一时,我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况,在每一种情况中分别求解,最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题大大的简化,达到化繁就简,化难为易,分而达到目的。
例1“有一张正方形的桌面，它的4个内角的和为360°，现在锯掉它的一个角，剩下的残余桌面所有的内角和是多少”
小光的解答是：“锯掉一个角，还剩下3个角，于是残余桌面的内角和是180°”，话音刚落小欣便哄堂大笑起来，小欣说：“锯掉一个角还有五个角，内角和应为540°啊”，你认为谁对谁不对呢？说说你的解答和理由．
【点拨】据掉正方形的一个角以后，所得的多边形可能是五边形，四边形，三边形，应分几种情况讨论．
解：锯掉一个角时可能出现以下几种情况，如答图
因此剩下的图形可能是五边形、四边形、三角形，内角和可能为540°、360°、180°，由此可知两位同学的说法都不全面．
【点评】能够把各种情况分析全面，是解决本题的关键．
练1 如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为 90°或40° 时，△AOP为直角三角形．
练2等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．
解：①如图，AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm∵AD＝DC，AB＝A∴2AD+AD＝6cm∴AD＝2cm
∴AB＝4cm，BC＝13cm∵AB+AC＜BC∴不能构成三角形，故舍去
②如图，AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm同理得：AB＝10cm，BC＝1cm
∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC∴能构成三角形∴腰长为10cm，底边为1cm
故这个等腰三角形各边的长为10，10，1．
类型三方程思想
方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发,恰当设未知数,利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的己知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.
例1如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．
【点拨】设AC＝x，根据题意用x表示出AB，根据中点的性质得到AD＝DC=12x，根据三角形周长公式计算即可．
解：设AC＝x，则AB＝2x，∵BD是中线，∴AD＝DC=12x，
由题意得，2x+12x＝30，解得，x＝12，则AC＝12，AB＝24，
∴BC＝20-12×12＝14．答：AB＝24，BC＝14．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
练1（1）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
（2）一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数．
解：（1）设内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组x=4y+30x+y=180
解得x=150y=30．而任何多边形的外角是360°，则多边形内角和中的外角的个数是360÷30＝12，则这个多边形的边数是12边形；
（2）设这个多边形的边数为n，依题意得：27（n﹣2）180°＝360°，解得n＝9，
答：这个多边形的边数为9．
练2 如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．
解：设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝72°，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴3x＝36°+2x，∴x＝36°，∴∠C＝72°，∠ADB＝108°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ADB＝∠E+∠DAE，
∴∠DAE＝108°﹣90°＝18°．
类型四整体思想
整体思想是指用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握已知和所求之间的关联进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法,从整体出发的处理方法,体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念.中学数学中,整体思想的应用广泛,整体思想方法的运用的分为以下三步:
(1)从整体出发,高瞻远地统帅局部.
(2)通过对局部的研究,酝酿总体解决的方案.
(3)回到整体,实现解決整个问题的总目标.整体思想方法在整式的化简与求值等方面都有广泛的应用,整体代入、整体运算、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用.
例1“8字”的性质及应用：
（1）如图1，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如（1）中方式，图2中共有“8字”ABCD、“8字” ABED 和“8字” EBCD ．
（3）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：∠E=12（∠A+∠C）．
【点拨】（1）利用三角形的内角和定理解决问题即可．（2）根据“8字”的定义即可解决问题．（3）利用（1）中结论解决问题即可．
（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：如（1）中方式，图2中共有“8字”ABCD、“8字”ABED和“8字”EBCD．
故答案为ABED，EBCD．
（3）证明：∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，
∠E+∠EBC＝∠C+∠EDC，
∵∠ABE＝∠EBC，∠ADE＝∠EDC，
∴∠A﹣∠E＝∠E﹣∠C，
∴∠E=12（∠A+∠C）．
【点评】本题考查三角形内角和定理，“8字”的性质及应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
练1如图，在六边形ABCDEF，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 180 °．