数学八年级上册2.5 全等三角形教学设计及反思

第6课时 全等三角形的性质和判定的应用

【知识与技能】

会综合用各种方法判定两个三角形全等.

【过程与方法】

经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.

【情感态度】

学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.

【教学重点】

三角形全等的判定方法的综合运用.

【教学难点】

作辅助线构建全等三角形.

一、情景导入，初步认知

如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，若CE⊥AB，DF⊥AB，则C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？

二、合作探究，探索新知

如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．

【归纳结论】（1）先证明BC=EF，再根据S.S.S.即可证明；（2）AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明.

三、运用新知，深化理解

1.教材P86例10.

2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连结D1B，求∠E1D1B的度数.

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，由旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1计算即可得解．

解：∵∠CED=90°，∠D=30°，

∴∠DCE=60°，

∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，

∴∠BCE1=15°，

∴∠BCD1=60°-15°=45°，

∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△CD1B中，

AC=CB,

∠A=∠BCD1,

AB=CD1,

∴△ABC≌△CD1B（S.A.S.），

∴∠BD1C=∠ABC=45°，

∴∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1=45°-30°=15°．

3.如图，已知BE与CD相交于点A，M为BC的中点，∠1=∠2，AB=AC，求证：∠DBM=∠ECM．

【分析】连结MA，可证得△ABM≌△ACM，可得出∠MAB=∠MAC，∠MAD=∠MAE，由题干中的条件可得∠AMD=∠AME，可证得△AMD≌△AME，得MD=ME，再证明△MBD≌△MCE即可得出结论．

证明：如图，连结MA.

∵AB=AC，M为BC中点.

在△ABM和△ACM中，

AB=AC,

BM=CM,

AM=AM,

∴△ABM≌△ACM(SSS),

∴∠MAB=∠MAC，∠AMB=∠AMC，

∴∠DAM=∠EAM，

∵∠1=∠2，∴∠AMD=∠AME.

在△AMD和△AME中，

∠DAM=∠EAM,

AM=AM,

∠AMD=∠AME,

∴△AMD≌△AME（ASA），

∴MD=ME，在△MBD和△MCE中，

MD=ME,

∠1=∠2,

MB=MC,

∴△MBD≌△MCE（SAS），

∴∠DBM=∠ECM．

4.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.

【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BA，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AE的取值范围，然后由AE=2AD即可求解．

解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连结CE.∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,

BD=CD，

∠ADB=∠EDC，

AD=ED，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，

∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，

∵AE=2AD，∴0.5＜AD＜3.5.

5.如图①，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．

求证：BC=AB+CD．

分析：有两种思路：① 截长：在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，先证△ABE≌△FBE，得出∠A=∠BFE，再证△CDE≌△CFE，就可以得出CD=CF，即可证明结论．②补短：延长BA、CE交于F,证明△FBE≌△CBE,△FAE≌△CDE即可得出结论.

证明：方法一：截长.

如图②，在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，

∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

在△ABE和△FBE中，

AB=FB，

∠1=∠2，

BE=BE，

∴△ABE≌△FBE（S.A.S.），

∴∠A=∠5．∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

∴∠5+∠D=180．

∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D．在△CFE和△CDE中，

∠6=∠D，

∠3=∠4，

CE=CE，

∴△CFE≌△CDE（AAS），

∴CF=CD．

∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD．

方法二：补短.

如图③，延长BA、CE交于点F.

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.

∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，

∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠BCD.

∴∠2+∠3=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=90°.

在△BEC和△BEF中，

∠2=∠1，

BE=BE，

∠BEC=∠BEF=90°，

∴△BEC≌△BEF（A.S.A.），

∴BC=BF，EC=EF.

∵AB∥CD，∴∠7=∠D，∠F=∠4.

在△EAF和△EDC中，

∠7=∠D，

∠F=∠4，

EF=EC，

∴△EAF≌△EDC（A.A.S.），

∴FA=CD.

∴BC=BF=BA+AF=AB+CD.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.5”中第6、7题.

本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.