【2022版】专题24数列求和的常见方法-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

专题24   数列求和的常见方法

【高考地位】

数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

方法一  公式法

例1.   设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．

【变式演练1】【四川省名校联盟2020届高考模拟信息卷】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列{an－1}的前n项和Tn.

方法二  分组求和法

例2. 已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项

Sn.

【变式演练2】【江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研】已知数列的前项和为，满足，，

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，求数列的前项和.

方法三  裂项相消法

例3. 已知数列:,,,…, ,…,若，那么数列的前项和为（   ）

A．                       B．                  C.                    D．[来【变式演练3】【广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测】已知数列的前n项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前2020项和.

【变式演练4】设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01（浙江专用）

方法四  错位相减法

例4. 已知数列满足， .记，则数列的前项和__________．

【变式演练5】【广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试】设数列满足，.

（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；

（2）记，求数列的前n项和.

方法五  倒序相加法

例5.【湖北省武汉市三校联合体2020届高三期中】已知函数，则（    ）

A．2018 B．2019

C．4036 D．4038

【变式演练6】【江西省莲塘一中、临川二中2020届高三上学期第一次联考】已知，数列满足，则__________．

方法六  并项求和法

例6.【贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考】已知数列满足，则数列的前32项之和为__________.

【变式演练7】【陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末】已知数列满足，则数列的前40项和为________.

【高考再现】

1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

3．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.

4．【2020年高考全国Ⅱ卷理数4】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）              （   ）

A．块             B．块             C．块             D．块

5.．【2020年高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为         ．

6.【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

7.【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

9.（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．

10.【2017山东，文19】已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.

(I)求数列{an}通项公式；

(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.

11.【2017北京文，15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求和：．

12．【2017山东，理9】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

13.【2017天津理，18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，

,，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

【反馈练习】

1．【2020届安徽省皖江名校联盟高三下学期5月联考】数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．【2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研】著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则(    )

A．2020 B．4038 C．4039 D．4040

3．已知数列中，，（…是自然对数的底数）．记数列的前项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

【来源】浙江省A9协作体2021-2022学年高三上学期暑假返校联考数学试题

4．【2020届湖南省长沙市长郡中学高考模拟】已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

5．【湖南省衡阳市2020届高三下学期三模】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前n项和，则的值为______.

6．函数在点处的切线记为，直线，及轴围成的三角形的面积记为，则__________.

【来源】贵州省贵阳市2022届高三摸底考试试卷数学（理）试题

7．【天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中】已知数列的前项和，数列满足：，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）求．

8．【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】已知函数，，，数列，满足，，，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前n项和.

9．【安徽省马鞍山市2020届高三数学（理科）二模】已知数列、、中，，，，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

10．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试四】已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

11．【天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考】已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和.

12．【山东省临沂市第十九中学2020届高三上学期质量调研考】已知公差不为零的等差数列{an}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn．

13．【云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测】已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

14．【福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测】已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前项和

15．【重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考】已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

16．【福建省福州第一中学2020届高三下学期开学质检】已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

17．已知数列的前项和为，数列满足，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

【来源】浙江省百校2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题

18．已知正项数列及其前项和满足：．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为．若不等式对任意都成立，求的取值范围．

【来源】浙江省A9协作体2021-2022学年高三上学期暑假返校联考数学试题

19．已知数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【来源】重庆市第八中学2022届高三上学期入学摸底数学试题

20．已知数列的前项和，令，其中表示不超过的最大整数，，.

（1）求；

（2）求；

（3）求数列的前项之和.

【来源】广东省佛山市南海区2022届高三上学期8月开学摸底数学试题

21．已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．

（1）求，的通项公式；

（2）求的前n项和．

【来源】广东省2022届高三上学期金太阳大联考开学数学试题

22．已知数列的前项和为，且满足，设．

（1）分别求和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【来源】安徽省六校教育研究会2021-2022学年高三上学期第一次素质测试文科数学试题

23．已知各项均为正数的数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）若求数列的前n项和．

【来源】广东省2022届高三上学期综合能力测试（一）数学试题

24．已知数列中，，其前项和满足.

（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【来源】江西省赣州市南康区第三中学2021届高三数学（理）期中考试模拟试题

25．已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若______，求的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【来源】山东省（新高考）2021届高三模拟冲关押题卷（二）数学试题

26．已知数列的前项和为，且，，，在公差不为0的等差数列中且，，成等比数列．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求的前项和．

【来源】江苏省南京市第一中学2021-2022学年高三上学期期初学情调研数学试题

27．已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项．

（1）求数列与的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围．

【来源】浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2021-2022学年高三上学期第一次联考数学试题

28．等比数列的各项均为正数，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【来源】贵州省贵阳市2022届高三摸底考试试卷数学（理）试题

29．已知数列满足，.

（1）求证数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和.

【来源】2021年秋季高三数学（理）开学摸底考试卷03