数学必修1第三章 函数的应用综合与测试练习

这是一份数学必修1第三章 函数的应用综合与测试练习，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教新课标必修一第三章
函数的应用
一、单选题
1.（2021高一上·桂林月考）已知12是函数 f(x)={log2(x+m),x≥22x,x<2 的一个零点，则 f[4f(19)] 的值是（    ）
A. 1                                         B. 0                                         C. 2                                         D. 2 +1
2.（2021高三上·洮南月考）已知函数f(x)＝ {ex−a,x≤02x−a,x>0 (a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(    )
A. (0，1]                              B. [1，+∞)                              C. (0，1)                              D. (－∞，1]
3.（2020高一上·芜湖期末）某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(   )
A. 13立方米                           B. 14立方米                           C. 18立方米                          D. 26立方米
4.（2019高二上·南宁月考）设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（   ）．
A. (−94,−2]                         B. [−1,0]                         C. (−∞,−2]                         D. (−94,+∞)
5.（2019高三上·霍邱月考）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（  ）
A. y=x2+1                            B. y=sinx                        C. y=lnx                         D. y=cosx
6.（2020高一上·贵州期末）已知函数 f(x)=ex−x−2 有一个零点所在的区间为 (k,k+1)(k∈N∗) ，则 k 可能等于（    ）
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
7.（2019高一下·鄂尔多斯期中）函数 f(x)=log4x 的图象与函数 g(x)=sinπx 的图象的交点个数是(    )
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
8.（2020高三上·南开期末）已知 a∈ R ，若函数 f(x)=12x2−|x−2a| 有三个或者四个零点，则函数 g(x)=ax2+4x+1的零点个数为（    ）
A. 1或2                                    B. 2                                    C. 1或0                                    D. 0或1或2
9.（2020·海拉尔模拟）已知 f(x)={1f(x+1)−1,−1 A. {−8}∪(1,+∞)                                                 B. {−16}∪(12,1]∪(2,+∞)
C. {−8}∪[12,1]∪(2,+∞)                                   D. {−32}∪[1,2]∪(4,+∞)
10.（2020高二下·武汉期中）已知曲线 f(x)=x2+mxlnx 与曲线 g(x)=(lnx)2 有三个交点，则实数 m 的取值范围为（    ）
A. (0,1e2−e2]               B. (−∞,1e2−e2]                C. (−∞,1e−e)               D. (−∞,1e−e]
二、填空题
11.（2020高一上·佛山期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
[0，36000]
3
0
2
(36000，144000]
10
2520
3
(144000，300000]
20
1692
4
(300000，420000]
25
3192
5
(420000，660000]
30
N
小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为 36000×3%+64000×10%=7480 元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额´
×对应档的税率-对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为 100000×10%−2520=7480 元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为        ， 表中的N=       .
12.（2019高一上·屯溪期中）若函数 y=(12)|1−x|+m 存在零点，则m的取值范围是________.
13.（2020高三上·安徽月考）已知函数 f(x)={1−12|1−x|,x≤212f(x−2),2 14.（2019高一上·上饶期中）设 f(x)={1−21−xx≥1−x2−2x+3x<1 ，若 f(x)=m 恰有3个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是        ．
15.（2020高一上·黄陵期中）用二分法求方程 lnx−2+x=0 在区间 (1,2) 上零点的近似值，先取区间中点 c=32 ，则下一个含根的区间是        ．
16.（2019·新宁模拟）设 g(x)={ex,x≤01nx,x>0 ,则g（g（-1））=________．
17.（2020高一上·宁波期末）已知函数 f(x)=(sinωx)2+12sin2ωx−12(ω>0,ω∈R) ，若 f(x) 在区间 (π,2π) 内没有零点，则 ω 的取值范围是________．
18.（2018高三上·酉阳期末）定义域为 R 的偶函数 f(x) 满足对 ∀x∈R ，有 f(x+2)=f(x)−f(1) ，且当 x∈[2,3] 时， f(x)=−2x2+12x−18  ，若函数 y=f(x)−loga(|x|+1) 在 (0,+∞) 上至多有三个零点，则 a 的取值范围是      .
三、解答题
19.（2019高一上·东方月考）设函数f(x)= {（12）x−7,x<0x,x≥0
（1）若f(a)=1,求a的值
（2）解不等式： a2x−7>a4x−1



20.（2020高一上·浦东期末）某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第 x 天 (1≤x≤20,x∈N) 的销售价格 p=50−x （元 / 百斤），第 x 天 (1≤x≤20,x∈N) 的销售量 q=40+|x−8| （百斤）（销售收入 = 销售价格 × 销售量）
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少?
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大?最大值为多少?



21.（2020高一下·上海期中）2019年10月1日为庆祝中国人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有580台（套）装备、160余架各型飞机接受检阅，受阅装备均为中国国产现役主战装备，其中包括部分首次公开亮相的新型装备.例如，在无人作战第三方队中就包括了两型侦察干扰无人机，可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌人的防空系统.某作战部门对某处的战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数 k （ k>0 ），现已知相距36 km 的 A 、 B 两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为1和 a （ a>0 ），它们连线段上任意一点 C 处的干扰指数 y 等于两机对该处的干扰指数之和，设 AC=x （ km ）.
（1）试将 y 表示为 x 的函数，指出其定义域；
（2）当 a=25 ， k=1 时，试确定“干扰指数”最小时 C 所处位置.


22.（2019高一上·长春期中）函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图像的示意图如图所示， 两函数的图像在第一象限只有两个交点 A(x1,y1),B(x1,y2),x1
（1）请指出示意图中曲线 C1, C2 分别对应哪一个函数；
（2）比较 f(6),g(6),f(10),g(10) 的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数 ℎ(x)=f(x)−g(x) ,则函数 ℎ(x) 的两个零点为 x1,x2 ，如果 x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1] ，其中 a,b 为整数，指出 a,b 的值，并说明理由。

















答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】由题意知： f(12)=log2(12+m)=0 ，可得 m=−11 ，
∴ f(x)={log2(x−11),x≥22x,x<2 ，则 f(19)=log2(19−11)=3 .
∴ f[4f(19)]=f(4×3)=f(12)=0 .
故答案为：B

2.【答案】 A
【解析】解：当 x≤0时，f(x)单调递增，∴f(x)≤f(0)=1-a;
当 x>0时，f(x)单调递增，且f(x)>-a，
∵f(x)在R上有两个零点，
∴1−a≥0−a<0 ， 解得 0 故答案为：A
3.【答案】 A
【解析】设职工的用水量为 x 立方米，需要交纳的水费为 f(x) 元，
当 0≤x≤10 时， f(x)=mx ，
当 x>10 时， f(x)=10×m+(x−10)×2m=2mx−10m ，
即函数的解析式为： f(x)={mx,0≤x≤102mx−10m,m>10 ，
据此分类讨论：
当 0≤x≤10 时， mx=16m ，解得 x=16 ，不合题意，舍去；
当 x>10 时， 2mx−10m=16m ，解得 x=13 ，符合题意；
综上可得：该职工这个月实际用水为13立方米.
故答案为：A.
4.【答案】 A
【解析】∵ f(x)=x2−3x+4 与 g(x)=2x+m 在 [0,3] 上是“关联函数”
∴函数 y=ℎ(x)=f(x)−g(x)=x2−5x+4−m 在 [0,3] 上有两个不同零点
∴ {ℎ(0)=4−m≥0ℎ(3)=−2−m≥0ℎ(52)=−254+4−m<0 ，解得 −94 故答案为：A.


5.【答案】 D
【解析】对于A，定义域为R，为偶函数，没有零点；
对于B，sin（﹣x）＝﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；
对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；
对于D，定义域为R，并且cos（﹣x）＝cosx，是偶函数并且有无数个零点；
故答案为：D．
6.【答案】 B
【解析】因为 f(1)=e−1−2<0 ， f(2)=e2−2−2>0 ， f(3)=e3−3−2>0 ， f(4)=e4−4−2>0 ，
所以 f(1)f(2)<0 ，且函数的图象连续不断，
所以函数 f(x)=ex−x−2 有一个零点所在的区间为 (1,2) ，故 k 可能等于1.
故答案为：B

7.【答案】 B
【解析】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，

由图可知，两个函数图像有 3 个交点，
故答案为：B.
8.【答案】 A
【解析】当 x<2a 时， 12x2+x−2a=0 ，由 Δ≥0 ， 得 1−4×12×(−2a)≥0,a≥−14 ，当 x≥2a 时， 12x2−x+2a=0 ，由 Δ≥0 得 1−4×12×(2a)≥0,a≤14 ，所以当 −14≤a≤14 时函数 f(x) 有三个零点或四个零点，对 g(x)=ax2+4x+1 ，由 Δ≥0 得 16−4a≥0,a≤4(a≠0) ，当 a=0 时， g(x)=4x+1 有一个零点；由于 −14≤a≤14<4 ，所以 g(x)=ax2+4x+1 有一个零点或两个零点，
故答案为：A.
9.【答案】 B
【解析】解：令 −1 则 f(x+1)=x+12 ，
故 f(x)={2x+1−1,−1
由 f(x)−2ax=a−1 ，
得 f(x)=a(2x+1)−1 ，
函数 y=a(2x+1)−1 恒过 A(−12 ， −1) ，
由 B(1,12) ， C(0,1) ，
可得 kAB=12+11+12=1 ， kOA=2 ， kAC=1+112=4 ，
若方程 f(x)−2ax=a−1 有唯一解，
则 1<2a⩽2 或 2a>4 ，即 122 ；
当 2ax+a−1=2x+1−1 即图象相切时，
根据 Δ=0 ， 9a2−8a(a−2)=0 ，
解得 a=−16(0 舍去），
则 a 的范围是 {−16}∪(12,1]∪(2,+∞) ，
故答案为：B．
10.【答案】 C
【解析】已知曲线 f(x)=x2+mxlnx 与曲线 g(x)=(lnx)2 有三个交点，等价于方程 x2+mxlnx=(lnx)2 有三个不等的实根，即方程 (lnxx)2−m⋅lnxx−1=0 有三个不等的实根,
令 t=g(x)=lnxx ，则 g′(x)=1−lnxx2 ，显然当 00 ，函数 g(x) 单调递增，且此时 g(x) 的值域为 (−∞,1e) ；当 x>e 时， g′(x)<0 ，函数 g(x) 单调递减，且此时 g(x) 的值域为 (0,1e) ，
故函数 g(x) 的最大值为 g(e)=1e ，
又因为方程 (lnxx)2−m⋅lnxx−1=0 有三个不等的实根,等价于方程 ℎ(t)=t2−m⋅t−1=0 有两个不等的实根，且一个大于0小于 1e ，一个小于0，
故可得 {ℎ(0)<0ℎ(1e)>0 ，解得 m<1e−e。
故答案为：C
二、填空题
11.【答案】 23080；52920
【解析】根据全年应纳税所得额×对应档的税率-对应档的速算扣除数，
可得小李的全年应纳税所得额为200000元时，应缴个税为
200000×2000−16920=23080 （元），
当全年应纳税所得额为500000元时，即全年应缴个税为
500000×3000−N=36000×300+108000×1000
+156000×2000+120000×2500+80000×3000 ，
解得 N=52920 （元）.
故答案为：23080；52920
12.【答案】 [−1,0)
【解析】解：设 y=(12)|1−x|+m ，因为 |1−x|=t≥0∴0<(12)t≤1 ，所以函数函数 y=(12)|1−x|+m 存在零点时，则满足m的取值范围是-1 ≤ m＜0，故答案为 [−1,0)
13.【答案】 7
【解析】当 x≤2 时， f(x)=1−12|1−x|={3−x21+x2 1≤x≤2x<1
当 2 当 4 函数 g(x)=xf(x)−1 的实数根的个数; 即方程 f(x)=1x 的实数根的个数.
在同一坐标系中作出 y=f(x) 与 y=1x 的图象，

由 f(1)=1，f(2)=12，f(4)=14 ，如图，函数 y=f(x) 的图象与 y=1x 的图象有7个交点.
所以函数 g(x)=xf(x)−1 的零点个数是：7
故答案为：7
14.【答案】 (0,1)
【解析】 f(x)={1−21−xx≥1−x2−2x+3，x<1 的图象如图： y=−x2−2x+3 ， x<1 是二次函数的一部分， x=−1 时取得最大值4， y=1−21−x ， x≥1 是指数函数的一部分的图象， x→+∞ 时， y→1 ，由题意可知 m∈(0,1) ．

故答案为： (0,1) ．
15.【答案】 (32,2)
【解析】f(x)=lnx−2+x 在 [1,2] 上单调递增， f(1)=−1<0 ， f(2)=ln2>0 ， f(32)=ln32−12=ln32−lne ，因为 (32)2 故答案为： (32,2)
16.【答案】 -1
【解析】解：根据题意g(−1)=e−1,则gg(−1)=g(e−1)=ln(e−1)=−1。
故答案为：-1
17.【答案】 (0,116]∪[18,516]
【解析】 f(x)=(sinωx)2+12sin2ωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12
=22sin(2ωx−π4) ，
由 f(x)=0 ，可得 2ωx−π4=kπ ，解得 x=π8ω+kπ2ω ， k∈Z ，
因为 f(x) 在区间 (π,2π) 内没有零点，
所以 x=π8ω+kπ2ω∉(π,2π) ，且 T2≥π ，
即 x=π8ω+kπ2ω∉(π,2π) 且 0<ω≤12 ，
因为 ω>0 ，
分别取 k=0 ，1,2,3 … ，
∴ω∉(116,18)∪(516,58)∪(916,98)∪…=(116,18)∪(516,+∞) ，
∴ω∈(0,116]∪[18,516] ，
∴ ω 的取值范围是 (0,116]∪[18,516] ，
故答案为： (0,116]∪[18,516] 。
18.【答案】 (55,1)∪(1,+∞)
【解析】
∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2 ，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至多有3个交点．
可以分两种情况：其一是有交点时，其二是一个交点也没有，
当一个交点都没有时，即a>1.
当有交点时，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多有三个零点，
则有g（4） 即loga5<﹣2，∴5> 1a2 ，解得，又0＜a＜1，∴ 55 ＜a＜1，
故答案为： (55,1)∪(1,+∞) 。
三、解答题
19.【答案】 （1）解： ∵f(x)={（12）x−7,x<0x,x≥0 且 f(a)=1 ，
当 a<0 时， (12)a−7=1 解得 a=−3 ；
当 a≥0 时， a=1 解得 a=1 ；
综上可得 a=1 或 a=−3

（2）解： ∵a2x−7>a4x−1
①当 a>1 时，由 y=ax(a>1) 在其定义域上单调递增，
∴2x−7>4x−1 解得 x<−3 ，即 x∈(−∞,−3)
②当 0 ∴2x−7<4x−1 解得 x>−3 ，即 x∈(−3,+∞)
20.【答案】 （1）解：当 x=10 时， p=50−10=40 ， q=40+|10−8|=42 ，
因此，第10天销售该商品的销售收入是 40×42=1680 ；

（2）解：设 f(x)=pq .
①当 1≤x≤8 且 x∈N 时， q=40+8−x=48−x ，
f(x)=pq=(50−x)(48−x)=x2−98x+2400=(x−49)2−1 ，
此时，函数 f(x) 单调递减， f(x)max=f(1)=49×47=2303 ；
②当 9≤x≤20 且 x∈N 时， q=40+x−8=x+32 ，
f(x)=pq=(50−x)(x+32)=−x2+18x+1600=−(x−9)2+1681 ，
此时，函数 f(x) 单调递减， f(x)max=f(9)=1681 .
∵2303>1681 ，因此，这 20 天中，第一天的销售收入最大，且销售收入的最大值为 2303 元.
21.【答案】 （1）解：根据题意，点C受A干扰指数为 y=kx ，点C受B干扰指数为 y=ka36−x ，
所以点C处干扰指数为： y=kx+ka36−x,(0
（2）解：因为 0 所以 y=1x+2536−x=136(x+36−x)(1x+2536−x) ，
=136(1+36−xx+25x36−x+25)≥136(26+236−xx⋅25x36−x)=1
当且仅当 36−xx=2536−x ，即 x=6 时，取等号，
所以“干扰指数”最小时 C 所处位置在距A点6公里处.
22.【答案】 （1）解：C1对应的函数为 g(x)=x3 ，C2对应的函数为 f(x)=2x .
（2）解： f(6)=26=64,g(6)=63=216,f(10)=210=1024,g(10)=103=1000
所以从小到大依次为 f(6),g(6),g(10),f(10)

（3）解：计算得 a=1, b=9
理由如下：
令 φ(x)=f(x)−g(x)=2x−x3 ，
由于 φ(1)=1>0,φ(2)=−4<0,φ(9)=29−93〈0,φ(10)=210−103〉0 ，
则函数 φ(x) 的两个零点 xi∈(1,2), x2∈(9,10)
因此整数 a=1, b=9