专题3 函数的零点、隐零点及零点赋值问题（原卷版）+（解析版）

专题3 函数的零点、隐零点及零点赋值问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点，特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.

二、解题秘籍

(一) 函数零点个数问题

用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．

【例1】已知，其中为实数．

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）当时，判断函数在上零点的个数，并给出证明．

【分析】（1）由题意在恒成立，转化为，求的最大值可得的取值范围是．

（2），，因为转化为研究，

①当时， 在上单调递减，方程无法求解，引入隐零点：

，在上有一解，

且时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

又，

在上有1个零点；

②当时，，则是一个零点；

③当时，令，则，

在上均单调递增，但方程也无法求解，引入隐零点：

，

在上有一解，

且当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

在上有一解，且时，

，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

又，，

在上恒成立，

此时在上无解；

④当时，在上恒成立，

在上单调递增，

又，，

在上有一个零点；

综上，在上有三个零点.

(二)零点存在性赋值理论

1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m  a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点．

2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行

三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.

【例2】已知函数，.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：.

【分析】(1)由可得或，对与大小关系讨论，并判断的正负，即可判断函数的单调性；

(2)原式等价于，而，故只需证，即证明，即证明，而，记，在单调递减，通过赋值确定的零点范围：

，，

故存在，使得，即，

，

记在上单调递减，，

故只需证：，即

∵，∴在上单调增，成立

 (三)隐零点问题

1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”。

2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a，关系式是关于的关系式，确定的合适范围，往往和的范围有关.

【例3】已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，，求整数的最大值．

【分析】（1）对函数求导得，再对分两种情况讨论，即和，即可得答案；

（2）当时，，即， 因为，所以只需，令，，所以．

，令，在递增

但无法求解，故引入隐零点：

，

根据零点存在性定理，，使得，即．

当时，，即，为减函数，

当时，，即，为增函数，

所以，

故；

在递增，，所以，又

所以整数的最大值是1．

三、典例展示

【例1】已知.

（1）求的最小值；

（2）若对任意都成立，求整数的最大值.

【解析】（1）的定义域是，令 ，

所以在上单调递减，在上单调递增，

在处取唯一的极小值，也是最小值

（2） （注意），记，则

考查函数， ，在定义域上单调递增.

显然有，，所以存在唯一的使得.

在上，，单调递减；在上，，单调递增.

所以在取唯一的极小值也是最小值，注意此时 ，

所以 ，所以整数的最大值可以取3

【例2】已知函数f(x)=xex+ax2+ax(a∈R).

（1）当a=﹣2时，求函数f(x)的单调区间；

（2）当a≥﹣1时，讨论函数f(x)的零点个数.

【解析】（1）当a=﹣2时，，

，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数的单调递增区间为，；

单调递减区间为.

（2），

①时，，

时，单调递减；时，单调递增；

，，，

有个零点.

②令，，，

当时，即，恒成立，

单调递增，只有个零点，且.

③，则，

由，解得或，

由，解得，

在上单调递减；

在，上单调递增，

，

也只有，只有个零点.

④，，

由，解得或，

由，解得，

在上单调递减；

在，上单调递增，

由，令，解得，

当时，，且，所以，

，，即有个零点.

当时，，

此时函数只有这个零点.

综上所述，时，有个零点；

时，有个零点；

时，有个零点.

【例3】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.

【解析】（1）因为，

所以，.

令，得.

当时，；

当时，.

故的单调速增区间是，单调递减区间是.

（2）.

因为，，

又，所以，则.

令，则在上单调递增.

因为当时，，

所以.

因为，

所以，使得.

且当时，，则，

当时，，则，

所以在上单调递增，在上单调递减.

故.

由，得.

由，得，

即.

结合，得，所以.

令.则，

所以在上单调递增，

所以，即.

故的最小值为.

四、跟踪检测

1．（2021届广东省江门市高三5月冲刺）设函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．

【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.

所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．

(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.

故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于

k<＋x(x>0) ①

令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.

由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．

故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．

设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．

又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k<g(α)，

故整数k的最大值为2.

2．（2021届福建省莆田市高三3月质量检测）设函数．

（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，．

【解析】（1）解：设，因为当时，为增函数，

当时，，，

所以在上恒大于零，所以在上不存在零点，

当时，在上为增函数，根据增函数的和为增函数，

所以在上为单调函数，

所以在上若有零点，则仅有1个，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围

（2）证明：设，则

，则，

所以 ，

因为，所以，

所以在上递增，在上恒成立，

所以在上递增，而，

因为，所以，所以恒成立，

所以当时，

3．已知函数，且函数与有相同的极值点.

（1）求实数的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

【解析】（1）的定义域为，，由得，

易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，

，依题意有，解得，经验证符合题意，故.

（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，

又，且，

当时，，.

① 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，

则，

，又，

此时的取值范围为；

② 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，

则，

所以，又，

此时的取值范围为.

综上，实数的取值范围为.

（3）证明：所证不等式即为，

下证：，即证，

设，则，

令，则，

易知函数在上单调递减，且，

故存在唯一的，使得，即，，

且当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减，

，

在单调递减，

又时，，故，即；

再证：，即证在上恒成立，

设，，

在单调递增，则，即，

故，

综上，.

4．已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围.

【解析】（1），.

函数的图象在点处的切线的方程为.

（1），（1），

，解得，.

.

，

，.

当时，函数取得最大值，.

对任意有恒成立，所以，.

.

实数的取值范围是，.

（2）由（1）可得：

，

，

令，解得，1.

列表如下：

由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值.

要满足函数在区间内有3个零点，

，

解得，

则实数的取值范围.

5．（2021届重庆市高三下学期月考）已知函数．

（1）求f（x）的极值；

（2）设为自然对数的底数．

①若函数g（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围；

②当时，求函数g（x）的最小值．

【解析】（1）f（x）的定义域为，，

当时，，f（x）单调递减；

当时，，f（x）单调递增．

所以f（x）的极小值为，f（x）无极大值；

（2）函数有两个零点，等价于有两个不同的根，

等价于的图象与的图象有两个不同的交点.

令，则，又，结合（1）单调性和极值情况，作函数图象如下：

由图象得时，f（x）与h（x）的图象相切，此时只有一个交点．

令，则，当h（x）的右半边图象与f（x）相切时，切点为，则切线为，即，与x轴的交点为，f（x）与h（x）的图象相切，此时只有一个交点．

结合图象得，a的取值范围为；

②（i）当时，，

因为恒成立，所以g（x）在上单调递增，所以此时g（x）的最小值为；

（ii）当时，在恒成立，所以g（x）在上单调递减，所以此时g（x）的最小值为；

（iii）当时，若，则，

若，则，由（i），（ii）知g（x）在上单调递减，在上单调递増，所以此时g（x）的最小值为．

综上有：当时，g（x）的最小值为；当时，g（x）的最小值为；当时，g（x）的最小值为．

6．．

（1）求的零点个数；

（2）使不等式对任意恒成立时最大的k记为c，求当时，的取值范围．

【解析】（1）函数定义域是，

由题意，

当或时，，时，，

所以在和上递增，在上递减，

时，，时，，

极大值，极小值，

所以只在区间上有一个零点；

（2）因为，所以原不等式可变为

，

令，，

令，则，时，，递增，，，

①当，即时，在上，是增函数，

，，

②当，即时，，递减，

，；

③当时，在上递增，

存在唯一的实数，使得，，，

则当时，，，递减，

时，，，递增，

，

，

，令，，时，，递增，

所以时，，所以，

综上，．

7．（2022届四川省内江市高三上学期零模）已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数，并比较零点与的大小.

【解析】（1）函数的定义域为，当时，，，

令得，

所以的变换情况如下表：

所以函数在和单调递增，在单调递减.

（2），

当时，，令得，此时函数只有一个零点，且等于；

当时，，在单调递增，由于时，，时，，且，故函数只有一个零点，且小于；

当时，，得，

此时函数在和单调递增，在单调递减，

故函数在取得极大值， ，

在取得极小值，，

故当时，即时，函数只有一个零点，此时该零点大于；

当时，即时，函数有两个零点，其中一个为零点为，另一个零点大于；

当时，即时，函数有三个零点，由于，故三个零点分别分布在区间，，上，故三个零点中，两个零点小于，一个零点大于；

综上，当时，函数只有一个零点，且等于；

当时，函数只有一个零点，且小于；

当时，函数只有一个零点，此时该零点大于；

当时，函数有两个零点，其中一个为零点为，另一个零点大于；

当时，函数有三个零点，三个零点中，两个零点小于，一个零点大于；

8．设，．

（1）讨论在上的单调性；

（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明．

【解析】（1），

令，则，或，

时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

，时，，单调递减，

综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为和．

（2）在上有3个零点，证明如下：

，则，

故是的一个零点，

，

是偶函数，

要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，

①当时，，

令，即，，

时，，单调递减，，

，时，，单调递增，，

在有唯一零点．

②当时，由于，，，

而在，单调递增，，故，

故在，无零点，

在有一个零点，

由于是偶函数，在有一个零点，而，

故在上有且仅有3个零点．